A modern algebra alapfogalmai

A modern algebra olyan halmazokat vizsgál, amelyekben egy vagy több, meghatározott tulajdonságokkal rendelkező művelet van definiálva. A modern algebra a halmaz elemeinek és a műveleteknek a valódi jelentésétől elvonatkoztat, csak azok tulajdonságait vizsgálja. Így olyan általános elméleteket kapunk, melynek eredményeit a matematika számos ága és több, a matematikát alkalmazó tudományág hasznosíthatja, többek között például az informatika is.

A modern algebra úgynevezett algebrai struktúrákat különböztet meg aszerint, hogy a halmaz milyen (véges vagy végtelen elemszámú), illetve, hogy hány és milyen tulajdonságú művelet van értelmezve a halmaz elemein. Ez a jegyzet a következő algebrai struktúrákkal foglalkozik: félcsoportok, csoportok, gyűrűk, modulosok, algebrák, hálók és testek. A tárgyalt struktúrákra példákat is adunk, amelyek leggyakrabban a halmazok, számhalmazok, polinomok, függvények, leképezések, vektorok és mátrixok közül kerülnek ki.

A. Félcsoportok

Egy F nem-üres halmazt félcsoportnak nevezünk, ha igazak a következők:

1. F tetszőleges a, b elem-párjához egyértelműen hozzá van rendelve az F egy c-vel jelölt eleme. Ezt a hozzárendelést műveletnek fogjuk nevezni és jelölhetjük például így: ab = c;

2. Az 1. pontban definiált művelet asszociatív, azaz az ottani jelöléssel: a(bc) = (ab)c.

Szokás e két feltételt a félcsoport axiómáinak is nevezni. Ilyen megközelítésben minden olyan halmaz, amelyre a fenti axiómák igazak, a benne definiált műveletre nézve félcsoportot alkot.

Azt, hogy egy halmazon művelet van értelmezve, úgy mondhatjuk, hogy a halmaz elem-párjain egy kétváltozós függvény (vagy leképezés) van értelmezve. Mivel ez a függvény kétváltozós, a műveletet binér műveletnek is nevezhetjük.

Ha a és b az F félcsoport két olyan eleme, amelyre igaz, hogy ab = ba, akkor ezt a két elemet felcserélhetőnek mondjuk. Ha egy félcsoport bármely két eleme felcserélhető, akkor azt kommutatív félcsoportnak nevezzük.

Félcsoportokra érvényes az asszociativitás tétele: az a₁a₂...a_n művelet értéke független a zárójelezéstől, csupán az elemek sorrendjétől függ.

Kommutatív félcsoportokra érvényes a kommutativitás tétele: az a₁a₂...a_n művelet értéke független az elemek sorrendjétől.

Ha egy F félcsoportban létezik olyan e elem, hogy ea = a minden F-beli a elemre, akkor e-t baloldali neutrális elemnek nevezzük.

Ha egy F félcsoportban létezik olyan e elem, hogy ae = a minden F-beli a elemre, akkor e-t jobboldali neutrális elemnek nevezzük.

Ha egy F félcsoportban egy e elem baloldali és jobboldali neutrális is, akkor neutrális elemnek nevezzük.

Ha egy F félcsoportban van neutrális elem, akkor neutrális elemes félcsoportnak hívjuk.

Tétel: Ha egy F félcsoportban e baloldali, f pedig jobboldali neutrális elem, akkor e = f, azaz a neutrális elem egyértelmű.

Ha az F félcsoport műveletét szorzásnak nevezzük, akkor a művelethez kapcsolódó neutrális elemet egységelemnek nevezzük. Ekkor a félcsoportot multiplikatívnak is szokták nevezni.

Ha az F félcsoport műveletét összeadásnak nevezzük, akkor a művelethez tartozó neutrális elemet zérus elemnek nevezzük. Ekkor a félcsoportot additívnak is szokták nevezni.

Ha egy F neutrális elemes félcsoport valamely a eleméhez létezik olyan a' F-beli elem, hogy a'a = e (ahol e a neutrális elem), akkor a' az a baloldali inverzének nevezzük.

Ha egy F neutrális elemes félcsoport valamely a eleméhez létezik olyan a' F-beli elem, hogy aa' = e (ahol e a neutrális elem), akkor a' az a jobboldali inverzének nevezzük.

Tétel: Ha egy F neutrális elemes félcsoportban egy elemnek létezik baloldali és jobboldali inverze is, akkor azok egyenlők. Így ha létezik inverz elem, akkor az egyértelmű. Igaz továbbá, hogy egy elem inverzének inverze az elem önmaga.

Tétel: Ha az F neutrális elemes félcsoportban a-nak és b-nek létezik inverze a' és b', akkor ab-nek is van és egyenlő b'a'-vel.

Egy n tényezős aa...a szorzatot (ha a félcsoport művelete a szorzás) az a n. hatványának nevezzük és aⁿ-el jelöljük.

Félcsoportban a hatványozásra érvényesek a következő azonosságok: aⁿa^m = a^n+m és (aⁿ)^m = a^nm.

Kommutatív félcsoportban a szorzás és a hatványozás felcserélhető, azaz (ab)ⁿ = aⁿbⁿ.

Neutrális elemes félcsoportban a 0 kitevőjű hatvány is értelmezhető a⁰ = e, ahol e a neutrális elem.

Egy neutrális elemes félcsoportban, ha létezik az a elemnek inverze, akkor azt a^-1-nek írhatjuk. Ez alapján értelmezhetjük a negatív egész kitevőjű hatványokat is: a^-n = (aⁿ)^-1 = (a^-1)ⁿ, ahol n egész szám. Belátható, hogy invertálható elemek negatív egész kitevőjű hatványaira is érvényesek a fentebb leírt, hatványozásra vonatkozó azonosságok.

Legyenek F és F’ félcsoportok és az F-nek F’-re való egyértelmű leképezése (re: azaz az F’ teljes egészében képpé válik). Legyen a művelettartó, azaz ha a az F-nek a, b elemeit F’-nek az a’, b’ elemeibe viszi át, akkor a az ab szorzatot az a’b’ szorzatba vigye át, vagyis (ab)’ = a’b’. Ebben az esetben azt mondjuk, hogy a az F egy izomorfizmusa, vagy hogy F-nek izomorf leképezése F’-re.

Az F-nek az F’-be való (be: azaz az F’ nem feltétlen válik teljes képpé) művelettartó leképezését homomorfizmusnak nevezzük. Ha egy homeomorf leképezésnél az F’ elemei többszörös képpé válhatnak, akkor epimorfizmusról beszélünk.

Izomorfia-elv. Az algebrai vizsgálatokban két algebrai struktúrát azonosnak tekintünk, ha egymással izomorfak. Másképpen fogalmazva: a modern algebra az izomorfizmusokkal szembeni invariáns tulajdonságokat vizsgálja.

Egy A halmaz elemein értelmezett relációt ekvivalencia-relációnak nevezzük, ha:

1. reflexív, azaz minden a eleme A-ra: aa;

2. szimmetrikus, azaz ha a₁a₂, akkor a₂a₁;

3. tranzitív, vagyis ha a₁a₂ és a₂a₃, akkor a₁a₃.

Minden ekvivalencia-reláció egy A halmaz elemein egy diszjunkt osztályozást indukál. Egy osztályba az egymással ekvivalencia-relációban lévő elemek tartoznak és minden elem, benne van valamelyik osztályban. Félcsoport esetén, ha egy ekvivalencia-relációra igaz, hogy a₁a₂ és b₁b₂ teljesüléséből (a₁b₁)(a₂b₂) következik, akkor -t kongruencia-relációnak nevezzük. A kongruencia-relációhoz tartozó osztályozást kompatibilis osztályozásnak nevezzük.

Példák

1. A természetes számok az összeadásra nézve egységelemes, kommutatív, additív félcsoportot alkotnak.

2. A természetes számok a szorzásra nézve egységelemes, kommutatív, multiplikatív félcsoportot alkotnak.

3. A valós számokkal megadott

mátrixok, a mátrixszorzásra nézve egységelemes félcsoportot alkotnak, mely nem kommutatív. Az

a félcsoport egységeleme. Egy mátrix akkor és csak akkor invertálható, ha determinánsa nem nulla.

4. Egy H nem üres halmaz összes részhalmazainak halmaza kommutatív, egységelemes félcsoport a halmazok unióképzésére. Neutrális elem az üres halmaz.

5. A valós számok halmazán értelmezett valós értékékű függvények halmaza az összetett függvény képzésére: f◦g(x) = f(g(x)), neutráliselemes félcsoportot alkotnak. Neutrális elem az f(x) = x függvény.

B. Csoportok

Egy G nem-üres halmazt csoportnak nevezünk, ha igazak a következők:

1. G tetszőleges a, b elem-párjához egyértelműen hozzá van rendelve a G egy c-vel jelölt eleme. Ezt a hozzárendelést műveletnek fogjuk nevezni és jelölhetjük például így: ab = c;

2. Az 1. pontban definiált művelet asszociatív, azaz az ottani jelöléssel: a(bc) = (ab)c;

3. G-ben létezik baloldali egységelem, azaz olyan e eleme, amelyre ea = a G minden a elemére igaz;

4. G-ben létezik baloldali inverz, azaz minden G-beli a elemhez létezik a G-nek egy olyan a^-1-el jelölt eleme, hogy: a^-1a = e.

Azaz egy olyan neurális elemes félcsoportot, amelyben minden elemnek van inverze, csoportnak nevezzük. Ha a műveletet összeadásnak nevezzük, akkor additív csoportról, ha szorzásnak, akkor multiplikatív csoportról is beszélhetünk.

Ha egy csoportban bármely két elem az ott definiált műveletre nézve felcserélhető, azaz: ab = ba, akkor a csoportot kommutatívnak, vagy Abel-féle csoportnak nevezzük.

Tétel: Minden csoportnak létezik neutrális eleme, és a csoport minden elemének létezik inverze. (Ez pontosan azt jelenti, hogy létezik jobboldali egységeleme és az megegyezik a baloldalival, valamint létezik jobboldali inverz és az megegyezik a baloldali inverzzel.)

Tétel: Ha a, b a G csoport elemei, akkor az ax = b és az ya = b egyenleteknek a G-ben egyértelműen megoldhatók. Ennek az egyértelműségnek a következménye az egyszerűsítési szabály, azaz ha ax₁ = ax₂, akkor x₁ = x₂, vagy ha y₁a = y₂a, akkor y₁ = y₂.

Egy csoport K részhalmazait szokás komplexusoknak is nevezni. Két komplexus egyenlő, ha ugyanazokból az elemekből állnak: K₁ = K₂. Komplexusok között érvényes a halmazelméletből ismert tartalmazás, metszet és egyesítés művelete, ugyanazon tulajdonságokkal. Két komplexus szorzata alatt olyan elemek halmazát (komplexust) értünk, melyek a két komplexus elemeinek szorzataiból állnak: K₁K₂ = {ab}, ahol a eleme a K₁-nek, b pedig a K₂-nek. Ha az egyik komplexus csak egy elemből áll, akkor a két komplexus szorzatát így is jelölhetjük: aK vagy Ka, ahol {a} az egyelemű komplexus. Egy csoport komplexusainak halmaza a komplexus-szorzásra nézve félcsoportot alkotnak. Egy komplexus inverze alatt az elemi inverzének a halmazát értjük és K^-1-el jelöljük.

Egy G csoportnak egy H komplexusát részcsoportnak vagy alcsoportnak nevezzük, ha a H elemei a G-beli műveletre nézve maguk is csoportot alkotnak. Másképp fogalmazva: H zárt a G-beli műveletre nézve. Minden csoport önmaga részcsoportjának tekinthető, amint a csak a neutrális elemet tartalmazó egyelemű csoport is egy részcsoport. Ezek egy G csoport triviális részcsoportjai, a többi részcsoportot valódi részcsoportnak nevezzük.

A G csoport H nem-üres komplexusa pontosan akkor részcsoport a G-ben, ha HH és H^-1 is H-nak a részhalmaza, amit rövidebben úgy is mondhatunk, hogy HH^-1 része a H-nak.

Ha H_i a G csoport részcsoportjainak egy tetszőleges nem-üres halmaza, akkor ezek metszete szintén részcsoportja a G-nek. Legyen a K a G-nek egy komplexusa, és legyen H_i a G összes K-t tartalmazó részcsoportja. Ekkor a H_i-k metszete a legkisebb K-t tartalmazó részcsoport. Ezt a K által generált részcsoportnak nevezzük és {K}-val jelöljük. Ha ez a K komplexus olyan, hogy {K} = G, akkor a K-t a G generátor-rendszerének nevezzük.

Ha a K a G csoport egy komplexusa, akkor a {K} a G-nek azokból az elemiből áll, amelyek a K-beli elemek egész kitevőjű hatványainak szorzataiként írhatók fel.

Egy G csoportot ciklikusnak nevezünk, ha egyetlen elemmel generálható és ezt így jelölhetjük: G = {a}, ahol a a generáló elem. Ez azt jelenti, hogy a csoport minden eleme a-nak egész kitevőjű hatványa. Természetesen a⁰ = e az egységelem.

Ha egy ciklikus csoportban az a hatványai mind különbözőek, akkor végtelen ciklikus csoportról beszélünk.

Ha egy ciklikus csoportban minden a elemhez létezik olyan p pozitív kitevő, hogy a^p = e, akkor a ciklikus csoport véges. Azt a legkisebb p kitevőt, amelyre az egységet kapjuk hatványként, az a elem rendjének nevezzük. Ha ilyen kitevő nem létezik, akkor az elem rendje végtelen.

Minden véges ciklikus csoport izomorf valamely mod m maradékosztály additív csoportjával. Minden végtelen ciklikus csoport izomorf az egész számok additív csoportjával, valamint egy ciklikus csoport minden részcsoportja is ciklikus.

Ha H a G csoport részcsoportja és az a a G egyik eleme, akkor az aH komplexust a G csoport H részcsoport szerinti baloldali, Ha-t a jobboldali mellékosztályának nevezzük. Mivel a eleme a mellékosztálynak, ezért őt a mellékosztály reprezentánsának nevezzük. Egy mellékosztály bármely elemével reprezentálható.

Ha aH és bH a G-nek két mellékosztálya, akkor azok vagy egyenlők vagy diszjunktak. Ha tekintjük a G csoportnak a H szerinti baloldali mellékosztályait, akkor ezek tehát páronként diszjunktak, uniójuk pedig a teljes G csoporttal egyenlő. Ezt a G-nek a H szerinti baloldali felbontásának nevezzük, a baloldali mellékosztályok számát pedig a H-nak a G-beli baloldali indexének. Mivel a baloldali és jobboldali mellékosztályok száma azonos, ezért egyszerűen csak indexről beszélhetünk.

Véges csoport részcsoportjának rendje és indexe osztója a csoport rendjének. Egy G véges csoport a elemének rendje osztója G rendjének. Ezekből az következik, hogy egy prímszámrendű csoport ciklikus. Egy G csoport pedig akkor és csak akkor prímszámrendű, ha pontosan két részcsoportja van.

Egy G csoport N részcsoportját normális (vagy invariáns) részcsoportnak vagy normálosztónak nevezzük, ha a N jobboldali és baloldali mellékosztályai megegyeznek.

Legyen a a G egy kiválasztott eleme. Ekkor G-nek önmagára való x → a^-1xa leképezését a-val való konjugálásnak nevezzük. Ha H a G egy részcsoportja, akkor a^-1Ha-t a H konjugáltjának nevezzük.

Egy G csoport N részcsoportja akkor és csak akkor egyezik meg minden konjugáltjával, ha N a G-nek normális részcsoportja. Ugyanakkor normális részcsoportok metszete szintén normális részcsoport.

Normális részcsoportok szerinti mellékosztályok a csoportnak kompatibilis osztályozását adják, és minden kompatibilis osztályozás osztályai valamely normális részcsoport mellékosztályai. Azaz kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés áll fenn, egy csoport kompatibilis osztályozásai és normális részcsoportjai között.

Minden G csoportban az e (neutrális elem) és a G normális részcsoportokat alkotnak, melyeket triviális részcsoportoknak nevezzük. Ha egy csoportban a triviális részcsoportokon kívül nincs más normális részcsoport, akkor a G-t egyszerű csoportnak nevezzük.

Egy G csoportnak valamely N normális részcsoportja szerinti mellékosztályai a komplexusszorzásra nézve csoportot alkotnak. Ezt a G-nek az N szerinti faktorcsoportjának nevezzük és G/N-nel jelöljük.

Legyen a G csoport egy homomorfizmusa a G’-csoportba. G-nek azon elemeinek halmazát, amely elemek a G’-nek az e’ neutrális elemre képződnek le, a magjának nevezzük.

A G csoport tetszőleges homomorfizmusának magja a G normális részcsoportja. És viszont: G tetszőleges normális részcsoportja a G alkalmas homomorfizmusának a magja.

Ha a a G csoportnak egy G’ csoportra való homomorfizmusa és N ennek a homomorfizmusnak a magja, akkor G’ izomorf a G/N faktorcsoporttal. Egy epimorfizmus akkor és csak akkor izomorfizmus, ha a magja e (neutrális elem).

Legyen N a G részcsoportja. Ekkor kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés áll fennn a G-nek N-et tartalmazó réscsoportjai és a G/N faktorcsoportnak részcsoportjai között. Ez a megfeleltetés a természetes homeomorfizmus. Ha a G csoportnak H tetszőleges, N viszont normális részcsoportja, akkor normális részcsoport H-ban és: . Ha N és M a G –nek két normális részcsoportja úgy, , akkor M/N a G/N-nek normális részcsoportja és .

Egy G csoport részcsoportjainak olyan sorozatát, amelyik G-vel kezdődik és e-vel végződik (G=G₀, G₁, G₂,…,G_r=e), és mindegyik közbeeső részcsoport normális részcsoportja a megelőzőnek, G normálláncának nevezzük. A G_i/G_{i+1 a lánc faktorai,} r pedig a lánc hossza.

Ha egy normállánc ismétlődés nélküli és csak triviális módon finomítható, akkor kompozicióláncnak nevezzük. Véges csoportnak mindig létezik kompoziciólánca. Egy normállánc akkor és csak akkor kompoziciólánc, ha faktorai egyszerű csoportok. Ha a G csoportnak van kompoziciólánca, akkor G-nek tetszőleges két kompoziciólánca izomorf. Tetszőleges csoport bármely két normállánca finomítható úgy, hogy a keletkező hosszabb normálláncok izomorfak legyenek.

Egy G csoportot feloldhatónak nevezünk, ha létezik olyan normállánca, amelyben minden faktorcsoport Abel-féle. Véges csoport pontosan akkor feloldható, ha kompozicióláncának faktorai prímrendűek. Ha egy csoport nem feloldható, akkor egyszerűnek nevezzük.

Egy n elemű halmaz önmagára való leképezései csoportot alkotnak, melyet n-ed fokú szimmetrikus csoportnak nevezünk. Jele: S_n, rendje pedig n!. Az n-ed fokú szimmetrikus csoport részcsoportjait n-ed fokú permutációcsoportnak hívjuk.

Azok a permutációk, amelyek az szorzatot fixen hagyják, az S_n-nek egy részcsoportját alkotják. Ezek a páros permutációk, melynek csoportját n-ed fokú alternáló csoportnak nevezünk, jele A_n. Bizonyítható, hogy n ≥ 5 esetén az A_n alternáló csoport egyszerű (azaz nem feloldható).

Példák

1. Az egész számok az összeadásra nézve Abel-féle csoportot alkotnak.

2. Az adott m-mel osztható egészek az összeadásra nézve Abel-féle csoportot alkotnak.

3. A racionális számok az összeadásra nézve Abel-féle csoportot alkotnak.

4. A nullától különböző racionális számok a szorzásra nézve Abel-féle csoportot alkotnak.

5. Az n x n-es mátrixok az összeadásra nézve Abel-féle csoportot alkotnak.

6. Az n x n-es, nem nulla determinánsú mátrixok a mátrixok szorzására nézve csoportot alkotnak.

7. A maradékosztályok mod m Abel-féle, additív csoportot alkotnak.

8. A sík (vagy tér) vektorai Abel-féle, additív csoportot alkotnak.

C. Gyűrűk

Legyen az R halmazon két művelet értelmezve. Nevezzük ezeket összeadásnak és szorzásnak. Az R halmazt gyűrűnek nevezzük, ha:

1. az R az összeadásra nézve Abel-féle csoport;

2. az R a szorzásra nézve félcsoport;

3. az összeadás a szorzásra nézve disztributív, azaz R bármely három a, b és c elemére: a(b+c) = ab + ac és (b+c)a = ba + ca teljesül.

Egy gyűrű nem lehet üres, hiszen legalább egy eleme van a 0 (additív egység). Ugyanakkor már ezzel az egy elemmel is gyűrűnek tekinthető (hiszen 0 + 0 = 0 és 0 * 0 = 0 műveletek kielégítik a definíciót), mely gyűrűnek a neve: null-gyűrű. Ha egy gyűrűben a szorzás is kommutatív, akkor kommutatív gyűrűnek nevezzük.

Az első axióma miatt van az összeadásnak neutrális eleme: 0, melyet az R null-elemének nevezzük. Egy a elem összeadásra nézve vett inverzét –a-val jelölünk és az a negatívjának mondjuk. Egy elem inverzének inverze az elem önmaga. Egy gyűrűben minden a + x = b egyenletnek egyértelmű megoldása van, melyet b – a-val jelölünk. A disztributív tulajdonságból az adódik, hogy egy szorzat biztosan 0, ha az egyik tényezője az. Ugyanis bármely a, b elem-párra: ab = a(b+0) = ab + a0 és ba = (b+0)a = ba + 0a, vagyis a0 = 0 és 0a = 0.

Ismerünk olyan gyűrűket, hogy két nem nulla elemének szorzata 0. Ha a és b egyike sem nulla, de ab = 0, akkor a-t baloldali, b-t jobboldali null-osztónak nevezzük. Ilyen például a mod 6 maradékosztály-gyűrűben a 2 és 3 maradékosztály, melyek szorzata 0 (maradékosztály). Ha egy gyűrűben a 0-án kívül nincs más null-osztó, akkor a gyűrűt null-osztómentes gyűrűnek nevezzük. Ilyen gyűrűkben tehát ab = 0-ból vagy a = 0 vagy b = 0 következik. Egy null-osztómentes kommutatív gyűrűt integritástartománynak nevezünk.

Egy R gyűrűben akkor és csak akkor érvényes az a elemmel való baloldali egyszerűsítési szabály (azaz ab = ac -ből b = c következik), ha az a nem baloldali null-osztó. Null-osztómentes gyűrűkben tehát nem-nulla elemmel lehet egyszerűsíteni.

Ha az R gyűrű multiplikatív félcsoportjának létezik (baloldali, jobboldali) neutrális eleme, akkor azt az R gyűrű (baloldali, jobboldali) egységelemének nevezzük. Egy gyűrűben létezhet több baloldali egységelem is, de akkor nincs jobboldali egységelem és viszont. Ha egy gyűrűben minkét egységelem létezik, akkor azok egyenlők, és ekkor magát a gyűrűt pedig egységelemesnek hívjuk.

Ha egy R egységelemes gyűrű valamely a eleméhez létezik az R olyan a^-1-el jelölt eleme, amelyre a^-1a = e, akkor azt az a elem baloldali inverzének nevezzük. Ha egy elemnek van bal- és jobboldali inverze is, akkor azok egyenlők, vagyis egyértelműen meghatározottak. Ha egy elemnek van baloldali inverze, akkor az elem nem lehet baloldali null-osztó a gyűrűben.

Egy R gyűrű olyan részhalmazát, mely maga is gyűrű az R műveleteire nézve, a R részgyűrűjének nevezzük. (Ez a részcsoport fogalmának az analógiája.) Az R gyűrű egy I nem-üres részhalmazát ideálnak nevezzük, ha I az R additív részcsoportja és I bármely elemének R bármely elemével vett jobb és baloldali szorzata is eleme I-nek. Ha az R elemével való szorzásnál csak balról szorozva kapunk I-beli elemet, akkor baloldali, ha csak jobb oldalról szorozva kapunk I-beli elemet, akkor jobboldali ideálról beszélünk. Nyilvánvaló, hogy a 0 és R az R-ben ideálok, melyeket triviális ideáloknak nevezzük. Ha R-ben csak triviális ideálok léteznek, akkor a gyűrűt egyszerű gyűrűnek nevezzük.

Ideálok közös része szintén ideál. Természetesen beszélhetünk az R valamely részhalmaza által generált ideálról is, melyen az R azon ideáljainak metszetét értjük, amelyek az adott részhalmazt tartalmazzák. Az egy elemmel generálható ideált főideálnak nevezzük.

Egy R gyűrűnek tetszőleges ideáljai szerinti maradékosztályai (mellékosztályai) a gyűrű kompatibilis osztályozását adják. Fordítva pedig: a gyűrű minden kompatibilis osztályozásának osztályai valamely ideál szerinti maradékosztályok. Az R gyűrűnek egy I ideálja szerinti maradékosztályai az osztályok összeadásra és szorzásra nézve gyűrűt alkotnak, melyet R-nek I szerinti maradékosztály-gyűrűjének vagy faktorgyűrűjének nevezzük, melynek jele: R/I.

Az izomorfizmus, homomorfizmus és epimorfizmus a gyűrűkre ugyanúgy értelmezettek, mint a csoportokra. Egy R gyűrű tetszőleges homomorfizmusának magja az R-nek ideálja. Ugyanakkor R-nek bármely ideálja előáll homeomorfizmu-magként.

Ha az R’ gyűrű az R gyűrűnek homomorf képe és ennél a homomorfizmusnál az I a mag, akkor R’ izmorf az R/I maradékosztálygyűrűvel. Egy T testnek (a test definícióját lásd később) tetszőleges epimorfizmusa vagy izomorfizmus, vagy a 0 gyűrűre való (triviális) leképezés.

Minden R gyűrű izomorf egy R^* egységelemes gyűrű ideáljával. Azaz: minden gyűrű beágyazható egy egységelemes gyűrűbe.

Testnek (definícióját lásd később) nincs nem-triviális egyoldali (kétoldali még kevésbé) ideálja. Megfordítva, ha R olyan gyűrű, amelyben egyrészt nincs nem-triviális baloldali ideál másrészt nem zéró-gyűrű (azaz R-ben van nem-zérus szorzat), akkor R biztosan test. Ha egy R kommutatív egyszerű gyűrű nem zéró-gyűrű, akkor test.

Egy R nullosztómentes gyűrű karakterisztikája:

0: ha n az a legkisebb természetes szám, amelyre na = 0 (a az R eleme) –ból a = 0 következik;

1: ha R = 0;

p prímszám: ha van olyan p prím, hogy pa = 0 minden a eleme R-re.

A karakterisztika egyértelműen meghatározott.

Egy test karakterisztikája 0 vagy prím. A racionális számtest 0 karakterisztikájú. Az egész számok mod p maradékosztálygyűrűje p karakterisztikájú test. Az ezekkel izomorf testeket prímtesteknek nevezzük. Tetszőleges T test összes résztesteinek metszete prímtest. Ez a racionális számtesttel vagy az egészek mod p prímtestével izomorf aszerint, hogy a T karakterisztikája 0 vagy p.

Legyen R egy egységelemes integritástartomány és a és b ennek két eleme. Azt mondjuk, hogy b osztója a-nak, vagy hogy a többese b-nek, ha létezik az R-nek olyan c eleme, hogy a = bc. Ez a c az a = b = 0 esettől eltekintve egyértelmű. Jelölése: b|a (olvasd: b osztója a-nak). Az oszthatóság reflexív és tranzitív tulajdonságú. Az egységelem osztóit egységeknek nevezzük, melyek minden elemnek osztói. Ha két elem egymásnak kölcsönösen osztói, akkor asszociáltaknak nevezzük őket.

Az R egységelemes integritástartomány elemei akkor és csak akkor asszociáltak, ha csak egységfaktorban különböznek egymástól. Azaz: az általuk generált főideálok megegyeznek.

Az R egységelemes integritástartomány egy a nem 0 eleme irreducibilis (felbonthatatlan), ha nem egység, és ha minden osztója vagy egység, vagy a-val asszociált. (Ilyenek a prímszámok az egészek között, vagy az irreducibilis polinomok.)

Az R egy p elemét prímelemnek nevezzük, ha p|ab –ből vagy p|a vagy p|b következik. Az R egységelemes integritástartományban minden a nem-zérus eleme akkor és csak akkor bontható fel egyértelműen véges sok prímelem szorzatára, ha egyrészt (1) R nem tartalmazza főideálok végtelen, egymásba ágyazható, szigorúan növekvő láncát, valamint (2) R-nek minden irreducibilis eleme prímelem. Egy R egységelemes integritástartományt főideálgyűrűnek nevezünk, ha R minden ideálja főideál. A főideálgyűrű kielégíti az (1) és (2) feltételeket, így benne érvényes az egyértelmű prímfaktorizáció.

Azokat a főideálgyűrűket, amelyekben minden a nem-zérus eleméhez hozzá van rendelve egy -val jelölt nem-negatív egész (mint például egész számoknál abszolút érték vagy a polinomoknál fokszám) a következő tulajdonságokkal: tetszőleges a, b elemekhez (ahol a nem nulla) létezik a R-nek olyan két q és r eleme, hogy b = qa + r, ahol vagy r = 0, vagy , euklideszi gyűrűknek nevezzük. Minden euklideszi gyűrű egyben főideálgyűrű is.

Példák

1. Az egész számok az összeadásra és szorzásra nézve gyűrűt alkotnak, mely egy egységelemes integritási tartomány.

2. Az m-mel osztható egész számok az összeadásra és szorzásra nézve kommutatív gyűrűt alkotnak.

3. Az egész számok maradékosztályai mod m az összeadásra és szorzásra nézve kommutatív gyűrűt alkotnak, mely akkor nullosztómentes, ha m prímszám.

4. Az n x n-es mátrixok a mátrix összeadásra és mátrix szorzásra nézve egységelemes gyűrűt alkotnak, melyben a nem nullosztóknak van inverze is.

5. Az alakú (ahol a és b egész számok) az összeadásra és szorzásra nézve gyűrűt alkotnak.

5. Az egész számok gyűrűjében az m-el osztható egészek ideált alkotnak.

6. Egy test feletti kétváltozós polinomok gyűrűjében a konstans tag nélküli polinomok ideált alkotnak.

7. Egy test feletti 2 x 2-es mátrixok gyűrűjében a

baloldali, illetve jobboldali ideált alkotnak (de nem kétoldali ideálok).

D. Modulosok, algebrák

Ha egy G csoport operátortartománya, azaz G minden g eleméhez és minden eleméhez egyértelműen hozzá van rendelve a G-nek egy -vel jelölt eleme úgy, hogy bármely két G-beli g₁ és g₂ elem esetén érvényes, hogy , akkor G-t baloldali operátorcsoportnak nevezzük. Hasonlóan definiálható a jobboldali operátorcsoport is.

Abban az esetben, ha az operátorcsoportban a G egy Abel-féle csoport, pedig egy gyűrű (jelöljük R-rel), akkor G-t baloldali (illetve jobboldali) modulusnak, vagy baloldali (illetve jobboldali) R-modulusnak nevezzük. Ekkor tehát G minden g, h elempárjára és R minden r, s elemére igazak a következők: r(g+h) = rg +rh; (r+s)g = rg + sg és r(sg) = (rs)g.

Ha a G modulusban az R egységelemes gyűrű, akkor G-t unitérnek nevezzük. A modulusok speciális este továbbá az, ha az R egy test. Az ilyen modulust vektortérnek nevezzük. A vektorterekkel a lineáris algebra foglalkozik.

Ahogyan az Abel-féle csoportokból kaptunk gyűrűk segítségével modulusokat, ugyanolyan definícióval kaphatunk a gyűrűkből testek segítségével algebrákat. Azaz legyen K kommutatív test és A vektortér a K felett. Ha A egy gyűrű és tetszőleges k eleme K-ra és a, b eleme A-ra teljesül, hogy (ka)b = k(ab) = a(kab), akkor A-t a K feletti algebrának (K-algebrának), vagy hiperkomplex rendszernek nevezzük. Ha A véges dimenziójú vektortér, akkor A-t véges rangú vagy véges dimenziójú K-algebrának nevezzük. Ebben az esetben létezik az A-nak véges elemű bázisa, azaz A minden eleme a bázis K-beli elemekkel való lineáris kombinációjaként előáll.

A Lie-algebra egy olyan algebra, amelyben a szorzás asszociativitása helyett a következőket követeljük meg minden elemre: a² = 0 és (ab)c + (bc)a + (ca)b = 0. Ebből az antikommutativitás (ab = -ba) következik (Ugyanis: 0 = (a+s)² = a² + ab + ba + b² = ab + ba.) Lie-algebrára példa a térbeli vektorok halmaza a vektoriális szorzásra nézve.

Ha egy algebrában a szorzás asszociativitása helyett az ab = ba és (a²b)a = a²(ba) feltételeket szabjuk, akkor Jordan-algebrát kapunk.

Példák

1. Az irányított térbeli szakaszok a valós számok teste felett vektorteret alkotnak.

2. Egy T test feletti m x n-es mátrixok vektorteret alkotnak.

E. Hálók

Egy S halmazt részben rendezettnek nevezünk, ha S bizonyos elempárjaira értelmezve van egy ≤ reláció a következő tulajdonságokkal:

1: a ≤ a minden a eleme S-re (azaz reflexív);

2: ha a ≤ b és b ≤ a, akkor a = b (azaz antiszimmetrikus);

3: ha a ≤ b és b ≤ c, akkor a ≤ c (azaz tranzitív).

Abban az esetben, ha a ≤ b és a ≠ b, akkor az a < b jelölést használjuk. Ugyanezek érvényesek ≥ relációjel esetén is. Egy részben rendezett S halmaz két elemére a következő lehetőségek egyike igaz: a < b, vagy b < a, vagy a = b, vagy ezek közül egyik sem. Ez utóbbi esetben az elemek összehasonlíthatatlanok. Ha egy halmazban nincsenek összehasonlíthatatlan elemek, akkor az S-et elrendezettnek, teljesen rendezettnek vagy lineárisan rendezettnek nevezzük. Szokás a rendezett halmazt láncnak is nevezni.

Egy S véges halmaz esetén akkor mondjuk, hogy az y eleme fedi az x elemét, ha x < y, de nem létezik az S-nek olyan z eleme, hogy x < z <y igaz lenne. Ha a és b a véges S-nek két elem és a < b, akkor létezik az S-nek olyan elemsora, amely az a-t és b-t fedésekkel összeköti, azaz: a = a₀ < a₁ < a₂ < … < a_n-1 < a_n = b, ahol tehát minden a_i fedi a_i-1-et.

A fentiek alapján a véges részben rendezett halmazokat olyan diagrammal ábrázolhatjuk, melyben az elemeket pontok jelölik, és bármely két egymással fedésben lévő elemet vonallal kötünk össze. A pontok úgy helyezkednek el, hogy a fedő pont a fedett pont fölött van. Ezáltal az a < b viszony a rajzon úgy látható, hogy b és az a között egy fentről lefelé haladó törött vonal halad a diagramon (hálón).

Legyen a és b az S részben rendezett halmaz két tetszőleges eleme. Az u S-beli elemet az a és b felső korlátjának nevezzük, ha a ≤ u és b ≤ u. Legyen a és b az S részben rendezett halmaz két tetszőleges eleme. Az u S-beli elemet az a és b alsó korlátjának nevezzük, ha a ≥ u és b ≥ u.

A c S-beli elem az a és b legkisebb felső korlátja, ha c az a és b felső korlátja és a c felső korlátja a és b bármely felső korlátjának, azaz: a ≤ c és b ≤ c, valamint a ≤ u és b ≤ u-ból c ≤ u következik. Ezzel analóg módon definiálhatjuk a legnagyobb alsó korlátot is.

Ha létezik az a és b legkisebb felső korlátja, akkor ezt -vel jelöljük és két a elem egyesítésének vagy uniójának nevezzük. Ha létezik az a és b legnagyobb alsó korlátja, akkor ezt -vel jelöljük és a két elem metszetének nevezzük.

Egy olyan nem-üres H halmazt, amelyben bármely két elemnek létezik legkisebb felső és legnagyobb alsó korlátja, hálónak nevezzük. Ha a és b a H háló két eleme és a ≤ b, akkor és .

Egy H háló bármely a, b, c elemeire igazak a következő tulajdonságok:

1. és (idempotens);

2. és (kommutatív);

3. és (asszociatív);

4. és (elnyelési tulajdonság).

Ebben a felsorolásban duális párokat látunk, melyből a dualitási elv adódik. Ez azt mondja ki, hogy ha egy, az egyesítéssel és metszettel megfogalmazott állítás igazolható, akkor az is igaz, amelyet az eredetiből a két jel felcserélésével kapunk.

Egy H háló M nem-üres részhalmazát részhálónak mondjuk, ha az M zárt az egyesítés és metszet műveletekre nézve, azaz bármely a és b eleme M esetén és is fennáll.

Egy H háló olyan e elemét, amelyre a ≤ e a H minden a elemére igaz, a H egységelemének hívjuk. Egy H háló olyan 0 elemét, amelyre 0 ≤ a a H minden a elemére igaz, a H null-elemének hívjuk.

Az olyan hálókat, amelyekben az x ≤ z –ből következik, moduláris hálóknak nevezzük. Egy háló akkor és csakis akkor moduláris, ha nem létezik olyan x, y, z elemhármasa, amelyre igaz volna, hogy y ≤ z és valamint igaz lenne.

Ha egy M moduláris háló két a és b eleme között létezik maximális n hosszúságú lánc (azaz a fedések közé további elemek már nem illeszthetők), akkor minden a és b közötti lánc hossza maximum n lehet és a maximális láncoké pontosan n.

Egy olyan D hálót, amelyben a következő két, egyébként egymással ekvivalens feltétel teljesül (minden x,y,z eleme D-re), disztributív hálónak nevezzük:

1.

2.

Legyen B olyan háló, melynek létezik e egységeleme és 0 nulleleme, azaz: 0 ≤ x ≤ e minden B-beli x elemre igaz. Ha a B-beli a elemhez létezik B-nek olyan a’ eleme, hogy és , akkor a’-t az a komplementumának nevezzük. Egy disztributív hálóban egy elemnek legfeljebb egy komplementuma lehet.

Olyan disztributív hálót, amelyben minden elemnek van komplementuma, Boole-algebrának nevezzük. Boole-algebrában érvényesek a De Morgan-féle azonosságok: és a dualitás miatt: . Minden Boole-algebrából készíthető gyűrű, ha az összeadást és a szorzást a következőképpen értelmezzük: (ez a szimmetrikus differencia) és .

Minden Boole-algebrából az előbbi összeadás és szorzás műveletek bevezetésével egy B^* egységelemes gyűrű keletkezik. És megfordítva, minden B^* egységelemes gyűrűből B Boole-algebra keletkezik a következő műveletekkel: és .

Egy olyan gyűrűt, amelyben minden elem idempotens, azaz a² = a, Boole-féle gyűrűnek nevezünk. Egy Boole-féle gyűrű egységelemes, kommutatív és minden a elemére: 2a = 0.

Egy H halmaz részhalmainak olyan rendszerét, mely bármely két részhalmazának egyesítését és metszetét is tartalmazza, halmazgyűrűnek nevezzük. Ha egy halmazgyűrű minden részhalmazának a komplementumát is tartalmazza, akkor azt halmaztestnek mondjuk. Tetszőleges D disztributív háló izomorf egy halmazgyűrűvel, és tetszőleges Boole-algebra izomorf egy halmaztesttel.

Mint tudjuk, a háló egy olyan részben rendezett halmaz, amelyben bármely két elemnek van legkisebb felső és legnagyobb alsó korlátja. Ebben az esetben természetesen véges sok elemének is léteznek ugyanezen korlátjai. De léteznek olyan hálók is, amelyekben végtelen sok elemnek is van legkisebb felső és legnagyobb alsó korlátja. Az ilyen hálókat teljes hálóknak nevezzük.

Egy G halmazt részben rendezett csoportnak nevezzük, ha G egy csoport (a műveletét jelöljük szorzással), G részben rendezett a ≤ relációra nézve és érvényes benne a monotonitás, azaz: a ≤ b-ből ac ≤ bc és ca ≤ cb következik minden a, b, c eleme G-re.

A fenti G halmaz azon részhalmazát, amelynek elemei a G neutrális eleménél nagyobb vagy egyenlők, a G pozitivitás tartományának nevezzük és G⁺-al jelöljük. G⁺ elemeit pozitívaknak nevezzük. (most a neutrális elem is pozitívnak tekintendő).

Egy G részben rendezett G⁺ pozitivitás tartományának a következő tulajdonságai vannak:

1. ;

2. ha és akkor a = e;

3. ha és akkor ;

4. ha és akkor .

Mindez azt jelenti, hogy ha a G csoportban kiválasztunk egy részhalmazt az 1.-4. tulajdonságokkal, akkor G részben rendezett csoport lesz a G⁺-szal mint pozitivitás tartománnyal feltéve, ha rendezést a következőképpen definiáljuk: a ≤ b akkor és csak akkor, ha .

Egy G részben rendezett csoportot hálószerűen rendezett csoportnak nevezzük, ha az elemei a részben rendezésre nézve hálót alkotnak. A G részben rendezett csoportot lineárisan rendezettnek vagy elrendezettnek nevezünk, ha benne a rendezés lineáris, vagyis a G bármely két a, b elemére az a < b, a = b és a > b relációk közül pontosan egy teljesül. Egy G részben rendezett csoport pontosan akkor elrendezett, ha a G⁺ tartománya eleget tesz a következő feltételnek: ha , akkor vagy vagy .

Egy R halmazt részben rendezett gyűrűnek nevezünk, ha

1. R gyűrű a benne definiált összeadás és a szorzás műveletekre nézve;

2. R részben rendezett a ≤ relációra nézve;

3. az összeadás monoton, azaz ha a ≤ b és c egy tetszőleges eleme R-nek, akkor a + c ≤ b+c;

4. ha a ≤ b és c > 0, akkor ca ≤ cb és ac ≤ bc.

Ha c < 0, akkor természetesen ez utóbbi feltételben az egyenlőtlenség iránya megfordul. Abban az esetben, ha az R nullosztómentes, akkor a negyedik tulajdonság így is írható: ha a < b és c > 0, akkor ca <cb és ac < bc. (Negatív c esetén itt is megfordul az egyenlőtlenség iránya.)

Ha R⁺ az R részben rendezett gyűrű pozitív elemeinek halmazát jelöli, akkor erre a következők igazak:

1. ;

2. ha és akkor a =0;

3. ha és akkor ;

4. ha és akkor .

Egy gyűrűt elrendezett gyűrűnek nevezünk, ha benne a rendezés lineáris. Egy testet elrendezett testnek nevezünk, ha benne a rendezés lineáris. Az egy érdekes kérdés, hogy mely gyűrűk és testek estén lehet olyan elrendezést bevezetni, hogy az lineáris legyen.

Egy K kommutatív test pontosan akkor elrendezhető, ha benne a -1 nem állítható elő elemeinek négyzetösszegeként. A komplex számtestben nem lehet úgy rendezést értelmezni, hogy az elrendezett legyen. A racionális és a valós számtest pedig csak a szokásos módon lehet elrendezett.

Példák

1. Egy prímhatvány-rendű ciklikus csoport részcsoportjai hálót alkotnak.

2. Egy olyan ciklikus csoport, amelynek rendje négyzetmentes szám, a részcsoportjainak hálója Boole-algebra.

3. Egy prímszámrendű ciklikus csoport részcsoportjai hálót alkotnak, amely lánc.

F. Testek

Azt az R gyűrűt, amelyben a 0-tól különböző elemek a szorzásra nézve csoportot alkotnak, testnek nevezzük. Ezt a csoportot a test multiplikatív csoportjának nevezzük.

Mivel egyetlen csoport sem lehet üres, ezért a testnek legalább két eleme van (az additív egység és a multiplikatív egység). Egy véges, null-osztómentes gyűrű, amelynek legalább két eleme van, az egy (véges) test. Minden testben (a = 0 esetet kivéve) a következő egyenletek egyértelműen megoldhatók: ax = b és ay = b.

Ha egy test multiplikatív csoportja kommutatív, akkor kommutatív testről beszélünk. Az szakirodalomban gyakran a test fogalma alatt kommutatív testet, egyébként pedig ferdetestet értenek. Ahol ez nem zavaró, ott ezeket a minősítéseket elhagyjuk, vagy külön felhívjuk rá a figyelmet. A továbbiakban test alatt kommutatív testet értünk.

Ha A a valós számok halmazának olyan nem üres, valódi részhalmaza, amely minden elemével együtt az összes annál kisebb elemét is tartalmazza, továbbá A-nak nincs legnagyobb eleme, akkor létezik olyan a valós szám, hogy A = {x | x < a}. Ez a tulajdonság a valós számok halmazát rendezett testté teszi. Egy metrikus tér teljes, ha benne minden Cauchy-féle sorozat konvergens (azaz a határérték a térnek eleme). A valós számok halmaza egy Archimédeszien rendezett teljes test.

Ha egy K test része egy L testnek, akkor K-t az L résztestének, L-t pedig a K bővítésének nevezzük. Jelölésben: L|K. Ha a, b, … L-nek elemei, akkor L-nek azt a legszűkebb résztestét, amely a K testet és az a, b, … elemeket is tartalmazza, K-nak a, b, … elemekkel való bővítésének nevezzük. Jelölésben: K(a, b, …). Azt is szoktuk mondani, hogy a K(a, b, …) test a K-ból az a, b, … elemek adjunkciójával jött létre.

Ha L a K bővítése, akkor L tekinthető a K feletti vektortérnek, ha a vektortérben szükséges műveleteket az L-ben meglévőkkel azonosítjuk. Így az L-nek létezik K-feletti dimenziója, melyet a bővítés fokának nevezzük. Ez a fok lehet véges vagy végtelen, és így beszélhetünk véges vagy végtelen testbővítésről. Ha K, L, M testek ilyen sorrendben testbővítések, akkor M|K testbővítés foka egyenlő az M|L és L|K testbővítések fokának szorzatával.

Legyen az L test egy eleme, és K legyen az L-nek egy részteste. Ha létezik olyan K-beli, nem csupa 0 együtthatós polinom, amelynek a gyöke, akkor azt mondjuk, hogy a K-felett algebrai elem. Ha ilyen polinom nem létezik, akkor a K-felett transzcendens.

Ha tekintjük a K[x] polinomgyűrű azon polinomjait amelynek az gyöke, akkor ezek a K[x] ideálját alkotják. Azaz van a K[x]-ben olyan p polinom, hogy ez az ideál (p) alakú. Ez az ideál 0, ha az transzcendens és nem 0 ha az algebrai a K felett. A p polinomot szokás az definiáló polinomjának is nevezni.

Legyen most az L a K test bővítése, és az L egy K feletti algebrai elem. Ekkor K() test izomorf a K[x]/(p) maradékosztálygyűrűvel, ahol (p) a K[x] polinomgyűrű azon polinomjaiból áll, amelyeknek az x = a gyökük, a p irreducibilis polinom: p = xⁿ + b₁x^n-1+ b₂x^n-2+ … b_n, (p) pedig maximális ideál. Valamint: K() minden eleme felírható a következő alakban: . Itt c_i a K elemei, n pedig a p irreducibilis polinom fokszáma.

Ha a p irrducibilis polinom gyöke (azaz algebrai a K felett), akkor a K()/K testbővítés foka n. Ha transzcendens a K felett, K()/K testbővítés foka végtelen. Két transzcendens elemmel történő bővítésnél a bővítések izomorfak. Ha két algebrai bővítésnél az és ugyanannak a p irreducibilis polinomnak a gyöke, akkor a K()/K és K()/K testbővítések szintén izomorfak.

Az L|K testbővítést algebrai testbővítésnek nevezzük, ha L-nek minden eleme algebrai K felett. Ha az L|K véges testbővítés, akkor L|K algebrai testbővítés és K-ból L véges sok algebrai elem adjungálásával előállítható. Továbbá: algebrai testbővítés algebrai bővítése újra algebrai. Algebrai testbővítés esetén az algebrai elemek összege, különbsége, szorzata és hányadosa szintén algebrai elem lesz.

Tekintsünk egy K testet, és K felett legyen f egy n-ed fokú polinom (n ≤ 1). Legyen M a K-nak olyan bővítése, amelyben f elsőfokú tényezők szorzatára bomlik. M-nek azt az L résztestét, amely K-ból az f gyökeinek adjungálásával jön létre, az f polinom felbontási testének nevezzük. Egy K test feletti K[x] polinomgyűrű tetszőleges f polinomjához létezik felbontási test, mely lényegileg egyértelmű (azaz ha különbözők, akkor izomorfak). Egy olyan M testet, amely felett minden legalább elsőfokú polinom elsőfokú polinomok szorzatára bontható, algebrailag zárt testnek nevezünk.

Az N/K testbővítést normálisnak nevezzük, ha N/K algebrai bővítés, valamint ha egy K feletti p irreducibilis polinomnak van gyöke N-ben, akkor p az N-ben lineáris tényezők szorzatára bontható. Ha N az polinom felbontási teste, akkor az N/K testbővítés normális. Vagy fordítva: ha az N/K véges normális testbővítés, akkor N valamely polinom felbontási teste. Ha L/K tetszőleges véges bővítés, akkor létezik egy olyan N/K véges normális testbővítés, hogy L benne van N-ben.

Ha egy test karakterisztikája 0, akkor a K feletti irreducibilis polinomoknak csak egyszeres gyökei vannak. Ha a K karakterisztikája p prím, akkor egy K feletti f irreducibilis polinomnak akkor és csak akkor van többszörös gyöke, ha f az x^p polinomjaként felírható. A K test feletti f irreducibilis polinomot szeparábilisnek nevezzük, ha minden gyöke egyszeres gyök, különben f-et inszeparábilisnek nevezzük. A K p-karakterisztikájú test felett akkor és csak akkor szeparábilis minden irreducibilis polinom, ha K minden egyes elemének van p-ik gyöke K-ban. Ha K 0-karakterisztikájú test és L a K-nak véges bővítése, akkor L a K-nak egyszerű algebrai bővítése. Ebben az esetben létezik az L-nek egyetlen olyan P eleme, hogy L = K(P). Ezt a P elemet szokás az L primitív elemének nevezni.

Legyen K egy véges test (mely szükségszerűen kommutatív), amelynek karakterisztikája p és elemeinek száma q. Könnyen belátható, hogy egy véges test elemeinek száma prímszámhatvány. Sőt az azonos elemszámú véges testek egymással izomorfak. Igaz továbbá, hogy minden q = pⁿ prímhatványhoz létezik egy q elemű test, mely az x^q-x felbontási teste.

A Galois-elmélet a véges N/K normális testbővítéseket, az ezekhez a bővítésekhez rendelt csoportokkal vizsgálja. Az N/K bővítés automorfizmusai (művelettartó leképezések, amelyek K elemeit fixen hagyják) csoportot alkotnak, melyet az N/K bővítés Galois-csoportjának nevezzük. A Galois-csoportot így jelöljük: . Ha egy 0-karakterisztikájú test N/K normális testbővítésének foka n, akkor a Galois-csoportjának a rendje is n.

A Galois-elmélet főtétele azt mondja ki, hogy egy kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés áll fenn az N-nek K-t tartalmazó résztestei és a bővítés Galois-csoport részcsoportjai között. Egy Galois-csoport részcsoportja akkor és csak akkor normálosztó a -ban, ha a -nak megfelelő L test a K-nak normális bővítése. Ekkor az L/K Galois-csoportja izomorf a faktorcsoporttal.

Ha a testbővítést egy f polinom felbontási testeként adjuk meg, akkor egy polinomnak is van Galois-csoportja, mely az N/K testbővítés Galois-csoportjával azonos. Ennek az f polinomnak a Galois-csoportja az f gyökeinek permutációiból álló csoportnak is tekinthető. Általában egy polinom Galois-csoportjának megalkotása nem könnyű feladat még egy konkrét esetre sem.

Tartalmazza egy K 0-karakterisztikájú test az összes n-ik egységgyököt. Ekkor az f = xⁿ – a binom egyenlet Galois-csoportja ciklikus csoport. Fordítva, ha egy N/K normális testbővítés Galois-csoportja ciklikus, akkor N valamely f = xⁿ – a alakú irreducibilis polinom felbontási teste. Ha az n = p prímszám, akkor a f = x^p – a polinom vagy irreducibilis K felett, vagy pedig van legalább egy gyöke K-ban.

Legyen K tetszőleges 0-karaktersitikájú test és p prímszám, pedig egy primitív p-ik egységgyök. Ekkor lehet a K testet rendre az irreducibilis q^k-a (q prímszám) polinom gyökeivel véges sok lépésben úgy bővíteni, hogy végül -t tartalmazó testet kapjunk.

Legyen f a K 0-karakterisztikájú test felett irreducibilis polinom. Ha f valamely gyöke előállítható f együtthatóinak és adott racionális számoknak, a négy alapművelet és a gyökvonás felhasználásával, akkor f Galois-csoportja feloldható csoport.

Az xⁿ – a₁x^n-1 + a₂x^n-2 – +… (-1)ⁿa_n = 0 egyenlet Galois-csoportja (az együtthatók K(a_1, a_2, … a_n) testére nézve) az n-ed fokú szimmetrikus csoporttal izomorf. Ebből az adódik, hogy n ≥ 5 esetén az általános egyenlet nem oldható meg gyökjelekkel, azaz nem létezik n ≥ 5 -öd fokú egyenletekhez általánosan alkalmazható megoldó képlet.

Legyenek adva a síkon pontok, egyenesek és körök. Feladat: ezekből újabbakat szerkeszteni. Szerkesztésen a következő lépések véges sorozatát értjük: két már adott, vagy megszerkesztett alakzat (egyenes-egyenes, egyenes-kör, kör-kör) metszéspontjának kijelölése; két adott vagy megszerkesztett ponton keresztül egyenes húzása; valamint két adott vagy megszerkesztett pont távolságának körzőnyílásba vétele és ezzel, mint sugárral adott vagy megszerkesztett pont köré kör rajzolása. Szokás az ilyen szerkesztéseket Euklideszi szerkesztéseknek is nevezni.

Legyen K egy szerkesztési feladat adatait tartalmazó legszűkebb test, és legyenek x₁, x₂, … , x_n a megszerkesztendő alakzatok adatai. A szerkesztés csak akkor végezhető el az előbbi értelemben, ha létezik a K-nak olyan N normális bővítése, amely a x₁, x₂, … , x_n mindegyikét tartalmazza és N/K foka 2-nek hatványa. Speciálisa: mindegyik x_i algebrai a K felett.

Nevezetes szerkesztési feladatok: Déloszi probléma, amelynél egy kockához egy kétszer akkora térfogatú kockának az élét kellene megszerkeszteni, mely a fenti értelemben nem lehetséges. Ugyancsak nem végezhető el egy tetszőleges szög harmadolása és a kör négyszögesítése. Szabályos sokszög pontosan akkor szerkeszthető egy adott körben, ha az oldalak számára (n) érvényes a következő: n = 2^s p₁p₂…p_r, ahol p_i olyan páratlan prímszámok, hogy p_i-1 2-nek hatványa.

Példák

1. A racionális számok testet alkotnak.

2. Az alakú számok (ahol a és b racionális számok) testet alkotnak.

3. A valós számok testet alkotnak.

4. A komplex számok testet alkotnak.

5. A komplex számok teste a valós számok testének egyetlen algebrai testbővítése.

6. A mod 5 maradékosztályok véges testet alkotnak. A szimmetrikus műveleti táblák (kommutatív test):

+	0	1	2	3	4
0	0	1	2	3	4
1	1	2	3	4	0
2	2	3	4	0	1
3	3	4	0	1	2
4	4	0	1	2	3

*	0	1	2	3	4
0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4
2	0	2	4	1	3
3	0	3	1	4	2
4	0	4	3	2	1

Az összeadási táblából kiolvasható additív inverzek: -(0) = 0, -(1) = 4, -(2) = 3, -(3) = 2, -(4) = 1. A szorzótáblából kiolvasható multiplikatív inverzek: (1)^-1 = 1, (2)^-1 = 3, (3)^-1 = 2, (4)^-1 = 4. A szorzótáblából jól látszik, hogy a halmaz nullosztómentes.