Differenciálgeometria (1)

Vissza: http://gorbem.hu/Matematika.php

Geometria: a matematika azon ága, amely a tér mennyiségi viszonyainak leírásával foglalkozik. Ilyen értelemben a görög eredetű jelentését is magában foglalja: földmérés. A geometria fejlődésére – az ókori kelet államaiban, de főleg Görögországban – a mindennapi élet feladatai mellett nagy hatással volt a csillagászat is. A csillagászati megfigyelések által jelent meg a geometriában a mozgás, az állandó és változó alakzatok fogalma, a hasonlóság. A geometria az algebrával együtt a matematika két olyan ágává vált, amelyek elsőként alakultak ki, és fontosságukat a mai napig nem veszítették el. A geometria volt az első olyan tudományág, amelyet axiomatikusan építettek fel. Itt Euklidész: Elemek című művét kell megemlítenünk, mely 2000 évre meghatározta a geometriai gondolkodást. A XIX. század aztán földrengésszerű változást hozott a geometriában, de nagy volt a hatása a többi tudományra is. Ekkor jöttek létre a nemeuklideszi geometriák, melyben nagy szerepe volt többek között Bolyai Jánosnak is. A nemeuklideszi geometriák az Elemek-ben található V. posztulátumnak (gyakran párhuzamossági axióma), illetve azoknak a próbálkozásoknak köszönhetik létezésüket, hogy ezt a posztulátumot bizonyítani szerették volna.

Párhuzamosság: A sík két olyan egyenesét, amelyeknek nincs közös pontjuk (nem metszők), párhuzamosoknak nevezünk. Párhuzamosoknak nevezzük, a párhuzamos egyeneseken elhelyezkedő félegyeneseket és szakaszokat is.

Tétel: Adott egy egyenes és egy rá nem illeszkedő pont. Ekkor van a pont és az egyenes által meghatározott síkon olyan egyenes, amely átmegy a ponton és párhuzamos az adott egyenessel.

Párhuzamossági axióma: Adott egy egyenes és egy rá nem illeszkedő pont. Ekkor csak egy olyan egyenes van a pont és az egyenes síkjában, amely áthalad az adott ponton és párhuzamos az egyenessel.

Már Euklidésznek is gondja volt ezzel a párhuzamossági axiómával, ezért is nevezte posztulátumnak. Szerette volna a többi aximóma segítségével bizonyítani, de nem sikerült, mint ahogy a középkori matematikusoknak sem. Megpróbálták ezért más állítással helyettesíteni, de gyakorlatilag csak azt érték el, hogy számos átfogalmazását adták meg a párhuzamossági axiómának. Ilyeneket például:

– A háromszög szögeinek összege 180 fok.

– Egy egyenes távolságvonala is egyenes.

– Bármely két derékszög egyenlő.

– Három nem egy egyenesre eső pont egy körön fekszik.

– Akármekkora sugarú kört rajzolhatunk.

(Távolságvonal: A sík egy egyenesétől – annak egyik oldalán – a tőle egyenlő távol lévő pontok halmaza a síkban.)

Bolyai János, aki a semmiből egy új, más világot teremtett, úgy gondolta, hogy ha a párhuzamossági axióma úgysem bizonyítható, akkor tagadjuk annak állítását. Azaz több párhuzamos is létezik. Ezzel megalkotta a szintén ellentmondásmentes axiómákat tartalmazó hiperbolikus geometriát. Foglaljuk össze a lehetséges eseteket:

Párhuzamosok száma	A geometria
1	Euklideszi geometria
∞	Hiperbolikus geometria
0	Elliptikus geometria

A még radikálisabb gondolat volt a következő: az euklideszi geometria axióma rendszeréből hagyjuk el a párhuzamossági axiómát, és az így létrejövő axiómarendszert nevezzük maradék axiómarendszernek. Az erre felépített geometriát – mely az euklideszi és a hiperbolikus közös része – abszolút geometriának nevezzük.

A geometria újszerű felfogása fogalmazódik meg Felix Klein 1872-ben az Erlageni egyetemen tartott székfoglalójában. Jelentősége abban áll, hogy a különböző geometriákat azonos elvek alapján tudta szétválasztani. Azt mondta, hogy a különböző geometriák, az egymástól jól elválasztható transzformáció-csoportok invariáns elmélete, ezzel a transzformációval szembeni invariánsokat keresi, invariáns bázisokat állít elő. Minden geometria a neki megfelelő invariánsokkal foglalkozik. Ezzel nemcsak rendszerbe foglalta az akkor meglévő geometriákat, hanem lehetőséget adott további geometriák bevezetésére is. Nézzük mindezt egy táblázatban:

Transzformáció	Invariánsok	Geometria
Mozgások	Méret	Euklideszi geometria
Affinitás	Osztóviszony	Affin geometria
Projektivitás	Kettősviszony	Projektív geometria
Homeomorfizmus	Folytonosság	Topológia

Mozgások: ortogonális mátrixú lineáris transzformációk.

Affinitás: reguláris (nem nulladeterminánsú) lineáris transzformációk.

Projektivitás: közös nevezőjű lineáris tört transzformációk.

Homeomorfizmus: kölcsönösen egyértelmű folytonos leképezések, melyeknek inverze is folytonos.

Klein itt leírt gondolatát Erlangeni programnak nevezi a matematika. Nem minden geometria fér bele ebbe a programba. Ilyenek például a Remann-féle vagy a Finsler-féle geometria, melyek a differenciálható sokaságokkal foglalkoznak.

Az analitikus vagy koordinátageometriában az Euklideszi tér elemeit algebrai fogalmakkal írjuk le, ezekkel vizsgáljuk az első- és másodrendű alakzatokat, első és másodfokú kifejezések, egyenletek segítségével. Az alakzatok pontjait koordinátákkal írjuk le, legtöbbször Descartes-féle derékszögű koordinátarendszerekkel. Segítségül hívjuk ehhez a vektorokat is, melyek tömör, néha elegáns leírásokat tesznek lehetővé.

A differenciálgeometriában az Euklideszi tér elemeit az analízis eszközeivel vizsgáljuk. Ezek az elemek a görbék és a felületek. Ezért görbeelmélet és felületelméletről is beszélhetünk. Az analízis, mint infinitezimális számítás, a végtelen kicsiny mennyiségekkel (számokkal, intervallumokkal) dolgozik. Legfontosabb fogalmai mind lokálisak. Ilyenek például a határérték, folytonosság vagy a differenciálhatóság. Ebből adódóan a differenciálgeometria klasszikus ágát szokás lokális differenciálgeometriának is nevezni, megkülönböztetésül a globális differenciálgeometriától. A differenciálszámítás lokális jellege természetes módon öröklődik a differenciálgeometriában. A vonalaknak és felületeknek ugyanis pontbeli tulajdonságait fogjuk vizsgálni, leírni. Ugyanakkor, ha egy alakzat egy pontja környezetében az alakzatról elég sokat tudunk, akkor ezekkel a teljes alakzat viselkedése is leírható. Gondoljunk csak a Taylor-sorra. Ha egy függvény egy pontjában elég sokszor deriválható, akkor a deriváltakat a sorfejtésben felhasználva, a függvény teljes egészében leírható (közelíthető). Mint cseppben a tenger, a pont környezetében való viselkedése megadja a teljes értelmezési tartományra a függvény értékét. De azt is mondhatnánk, hogy amennyire megismerhetjük az intenzív végtelent (a végtelenül kicsit vagy közelit), ugyanannyira jutunk közel az extenzív végtelenhez is.

Következő lap: http://gorbem.hu/MT/DiffGeom2.htm