Differenciálgeometria (19)

A klasszikus variációs problémák megoldásai

A DiffGeom17.htm lapon a címbeli problémáknak csak közvetlenül a megoldását (eredményét) láthatjuk. Ezen a lapon először ezeknek az eredményeknek a levezetését ismertetném. Ez a megfelelő Eule-Lagrange-féle differenciálegyenletek megoldását jelenti. Használjuk a következő általános jelöléseket:

Ekkor az Eule-Lagrange-féle differenciálegyenlet alakja:

A második tag deriválását végrehajtva (alkalmazva az összetett függvények deriválási szabályát):

Rövidebben írva:

Ha az alkotófüggvény explicite nem függ az x -től, akkor az utóbbi egyenlet a következő alakba írható:

(*)

Ennek első integrálja:

(**)

A klasszikus variációs problémák megoldásánál ez utóbbi differenciálegyenletből indulunk ki. Lássuk a feladatok megoldását a kitűzésükkel együtt (DiffGeom17.htm alapján):

1. Két pont között legrövidebb görbe: Legyen adva a síkon két pont: P₁(x₁, y₁) és P₂(x₂, y₂), ahol x₁<x₂. Tekintsük azokat a folytonosan deriválható y = y(x) függvényeket, amelyek görbéi e két pontra illeszkednek. Melyik görbe ívhossza a legkisebb?

A pontokat összekötő görbe ívhossza nyilván:

A megoldás: A variációs feladat alkotófüggvénye:

Behelyettesítve a (**) egyenletbe (a konstansokat összevonva):

Azaz a feladat megoldása a két ponton átmenő egyenes, melynek egyenlete:

2. Brachisztochron-probléma: adva van a gravitációs térben két, nem azonos magasságban és nem egy függőleges egyenesre eső P₁(x₁, y₁) és P₂(x₂, y₂) pont, ahol x₁< x₂ és y₁> y₂. A nehézségi erő hatására mozgó anyagi pont a felső pontból az alsóba egy y = y(x) görbe mentén mozog, amely kényszerként hat a pontra és y(x₁) = y₁, valamint y(x₂) = y₂. Határozzuk meg a görbét úgy, hogy a mozgás a lehető legrövidebb idő alatt történjen meg.

A sebességet a v = ds/dt derivált adja. Ebből dt = ds/v. A pályán való mozgás ideje tehát:

Az energia megmaradás törvénye szerint (a mozgási energia növekedése egyenlő a gravitációs energia csökkenésével, v₁ a kezdősebesség a P₁ pontban és g a gravitációs gyorsulás):

Ebből:

Így a pálya befutásához szükséges idő:

A megoldás: A variációs feladat alkotófüggvény:

Behelyettesítve a (**) egyenletbe:

A változókat szétválasztva:

Az integráláshoz alkalmazzuk a következő helyettesítést:

Ezáltal:

Így a Brachisztochron probléma megoldása tehát a ciklois ív:

A ciklois ívet az y = y₀ egyenletű egyenesen gördülő, a sugarú kör pontjai írják le.

3. A legkisebb felszínű forgásfelület problémája: Legyen adva két P₁(x₁, y₁) és P₂(x₂, y₂) pont, ahol x₁<x₂, y₁>0 és y₂>0. Haladjon át a pontokon egy y = y(x) görbe, melynek a pontok közé eső részét megforgatjuk az x tengely körül. Legyen az y(x) az (x₁, x₂) intervallumon nem negatív. Ekkor a keletkező forgásfelület felszíne:

A megoldás: ebben az esetben az alkotófüggvény:

Behelyettesítve a (**) egyenletbe és az integrációs konstansokat egyben feltüntetve:

Ebből:

Azaz a feladat megoldása valóban a láncgörbe, ahol a és b a peremfeltételekből meghatározandó állandók.

Geodetikus vonalak néhány felületen

Mint tudjuk, a felületi görbék ívhosszának variációjánál a stacionárius görbéket geodetikus vonalaknak nevezzük. Legyen adva egy általános felület (u ,v) szerinti paraméterezéssel. Az ívelem négyzete az első alapmennyiségekkel így fejezhető ki:

Ekkor az A(u₁,v₁) és B(u₂,v₂) pontokon áthaladó felületi görbék közül a v = v(u) egyenlettel leírhatók ívhosszát a következő integrál adja:

ahol v(u₁) = v₁, v(u₂) = v₂ és

Így a geodetikus vonalak meghatározása egyet jelent ennek a variációs problémának megoldásával. Tehát az alkotófüggvény:

Az ehhez tartozó Euler-Lagrange-féle differenciálegyenlet a (*) alapján:

Akkor, ha az első alapmennyiségek csak az u paraméter függvényei, akkor az első integrál így néz ki:

Ha még azt is feltételezzük, hogy a paramétervonalak egymásra merőlegesek, akkor a g₁₂ = 0. Ekkor a differenciálegyenlet megoldása:

Azaz:

(1)

Megfordítva, ha az első alapmennyiségek csak a v paramétertől függnek és g₁₂ = 0, akkor az első integrál:

Ebben az esetben a differenciálegyenlet megoldása:

Azaz:

(2)

Alkalmazzuk az (1)- és (2)-ben foglalt eredményeket néhány felületre.

Sík

Sík esetén a fenti integrálok nem használhatók, hiszen a sík minden első alapmennyisége azonosan nulla. Marad a klasszikus feladatokban látható módszer, a sík geodetikusai a sík egyenesei lesznek. Nyilvánvaló továbbá, hogy az (1) és (2) integrál az (u, v) sík egy görbéjét határozza meg, melynek a felületi képe a geodetikus görbe a felületen. A sík paraméteres előállításából az is egyértelmű, hogy a paramétersík egy egyenes szakaszának a síkon is egy egyenes szakasz lesz a képe, mert a paramétersík és a felület (sík) közötti kapcsolat egy lineáris transzformáció. Vagyis ha a síkon (felületen) megadunk két pontot, akkor a közöttük lévő geodetikus a paramétersík egy egyenes szakaszának a képe. A teljesség kedvéért, habár ez nagyon egyszerű dolog, ezt is szemléltetném. Tehát a sík bármely P pontjából, bármely irányba egyenesek indulnak ki, melyek természetesen mind geodetikusok.

Tekintsük most azokat a felületeket, amelyeknek a Gauss görbülete nulla (azaz távolságtartó módon, azaz izometrikusan leképezhetők a síkra). Ezeknek a felületeknek a geodetikus vonalai, ugyancsak a paramétersík egy-egy egyenes szakaszának a képei lesznek.

Henger

A paraméteres egyenletrendszer:

Az első alapmennyiségek:

Ezek alapján az (1):

Ez a paramétersík egy egyenese. Így a henger geodetikus vonalai a hengerre illeszkedő hengeres csavarvonalak. Ha kiválasztjuk a felület két A és B pontját, akkor ezeken keresztül végtelen sok geodetikus vonal húzható, ha sem nem egy alkotón (egymás alatt), sem nem egy körön (ugyanolyan magasságban) helyezkedik el a két pont. (Ezekben az esetekben csak egyetlen geodetikus haladna át a két ponton, az első esetben egy egyenes – mint alkotó, a másodikban egy kör.) Ha például, rögzítjük az A pontot a paramétereivel, akkor hozzá a B pontot sokféle paraméterválasztással megkaphatjuk, melyek különböző egyenes szakaszokat jelentenek a síkon. Ezek képei mind geodetikusok, azaz hengeres csavarvonalak a hengerfelületen. Az alábbi hengeren három hengeres csavarvonal köti össze az A és B pontot. A piros színű mely a legrövidebb geodetikus, a kék egyszer, míg a fekete kétszer járja körbe a henger felületét.

Kúp

A kúpnál hasonló a helyzet mint a hengernél, csak a hengeres csavarvonal helyett kúpos csavarvonalat kell említeni. Íme a rajz:

Gömb

Igaz, hogy a gömb Gauss görbülete állandó, de nem nulla. Ezáltal a gömb esetén a paramétersík egy egyenes szakaszának a képe már nem lesz geodetikus a gömbfelületen. Miközben a gömb esetén geodetikusokat próbáltam rajzolni számítógéppel, észrevettem, hogy a paramétersík egyenes szakaszának a képe ismerősként viselkedik. Így, tudom, hogy nem ide tartozik, de megemlíteném, hogy megfelelő paraméterhatárokat választva, egy igen ismerős görbét kapunk. Íme:

Igen, ez bizony a Viviani görbe, vagyis a gömb, a henger és kúp áthatása, ami a paramétersík megfelelő egyenes szakaszának a képe a gömbfelületen. Ez viszont, mint látható, nem geodetikus. Így a gömb esetén már ki kell számolni a differenciálegyenlet megoldását jelentő (2) integrált. Lássuk most ezt:

A gömb paraméteres egyenletrendszere:

Első alapmennyiségei:

Ezáltal (1) alapján:

Rendezve az egyenletet:

Behelyettesítve a gömb paraméteres értékeit:

Ez egy origóra illeszkedő sík egyenlete. Azaz az origó középpontú gömbfelület geodetikus vonalai a gömbnek a szintén az origóra illeszkedő síkkal való metszésvonalai, azaz a gömbi főkörök. Ha úgy veszünk fel a gömbfelületen pontokat, hogy azok nem a gömb átellenes pontjai, akkor a geodetikusok egyértelműek (ellenben végtelen sok van belőlük), és a pontokon áthaladó gömbi főkörök rövidebb ívei az adott két pont közötti legrövidebb felületi görbe. Ezek láthatók a következő ábrán (A és B, valamint C és D pontok között).

Utolsó lap: http://gorbem.hu/MT/DiffGeom20.htm