Differenciálgeometria (20)

Differenciálgeometria (20)

Utószó (helyett)

Elsőként talán arról, hogy miért is született ez a cikksorozat. Tavaly akként döntöttem, hogy a matematika-fizika szakon készített szakdolgozatomat közzéteszem a honlapomon. Miközben újraírtam (akkor még csak gépírással történt a rögzítés és scannelés a gyenge minőség miatt szóba sem jöhetett), rádöbbentem, mennyire ismeretlen számomra annak tartalma. Arra gondoltam, hogy amennyire csak lehetséges, újra tanulom az egészet. A biztos tudás utáni vágy által vezérelve az alapokkal kezdtem, azaz a klasszikus differenciálgeometriával, vagyis a görbék és felületek elméletével. Elővettem jegyzeteimet és minden kéziratomat, amit az egyetemi időkből megőriztem. Néhány feladatmegoldást, levezetést még azokból az időkből sikerült megmenteni az utókor számára. Azt hiszem jól döntöttem, hogy a tanulási folyamatot a honlapomon is rögzítem, mert így kényszerítve voltam a töretlen előrehaladásra, és a teljes megértésre. Mert ha nem tudok másnak valamit átadni, akkor azt én magam sem érthetem teljesen. Ez ugye egyfajta „tanári betegség”.

Itt kell megemlítenem, hogy differenciálgeometriát tanító tanáraim közül ketten, Rapcsák András és Tamássy Lajos az elmúlt években elhunytak. Ezzel a cikksorozattal, a magam szerény módján, az Ő emlékük előtt szeretnék tisztelegni. A tematika teljesen megegyezik az általuk készített egyetemi jegyzet tematikájával.

A cikksorozat elsősorban azoknak az egyetemi hallgatóknak szól, akik differenciálgeometria előadásokra járnak, és vizsgázni szeretnének belőle. Számos feladat megoldása egészíti ki az egyébként eléggé teljesnek mondható elméleti tananyagot. Az pedig szerintem feltétlen újszerű dolog, hogy sok helyen (felhasználva programozói ismereteimet) számítógépes ábrázolások teszik szemléletessé, és ezzel remélem érthetőbbé az egyébként nem könnyű tananyagot.

Mint említettem, a tanáraim által írt könyv volt a fő vezérfonal a cikksorozat megírásánál. De nemcsak tőlük került a cikksorozatba tényanyag, hanem további szakkönyvekből is. Ezeknek a könyveknek a szerzőit és címét mind megtalálhatjuk az alábbi jegyzékben.

Felhasznált irodalom

Rapcsák András – Tamássy Lajos: Differenciálgeometria I. rész TK, 1974

Dr. Kántor Sándorné: Differenciálgeometrai feladatok KLTE. 1976 (kézirat)

Szőkefalvi-Nagy Gyula – Gehér László – Nagy Péter: Differenciálgeometria MK. 1979

V.T. Vodnyev: Differenciálgeometriai feladatgyűjtemény MK. 1974

Dr. Farkas Miklós: Matematikai kislexikon MK. 1974

Freitz Reinhardt – Heinrich Soeder: Matematika (Atlasz sorozat) Athenaeum 1999

B.P. Gyemidovics: Matematikai analízis feladatgyűjtemény TK. 1971

Ja.B. Zeldovics – A.D. Miskisz: Az alkalmazott matematika elemei Gondolat 1978

Stefan Banach: Differenciál- és integrálszámítás TK. 1971

Hajós György: Bevezetés a geometriába TK. 1971

Bárczy Barnabás: Differenciálszámítás példatár MK. 1977

G.A. Korn – T.M. Korn: Matematikai kézikönyv műszakiaknak MK. 1975

Láncos Kornél: A geometriai térfogalom fejlődése Gondolat 1976

Kósa András: Variációszámítás TK. 1970

Fazekas Ferenc: Műszaki matematikai gyakorlatok (A.I., A.III. A.IV., A.V., B.I., B.II. C.II.) TK. 1957-73

Tartalom

http://gorbem.hu/MT/DiffGeom1.htm

Geometria

Párhuzamossági axióma

Erlangeni program

http://gorbem.hu/MT/DiffGeom2.htm

Vektorok és vektorfüggvények

A görbe és előállítása

Síkgörbék ábrázolása

Egyenes, kör, ellipszis, kardioid, Descartes-levél, ciklois, cisszoid, lemniszkáta, asztrois, Pascal-féle csiga, Archimédesi spirál, hiperbolikus spirál, logaritmikus spirál, traktrix, epiciklois, hipociklois, rozetta, Agnesi-féle fürt, Cassini-féle görbe, Sztrofoid, Nikomedes-féle kochoid

http://gorbem.hu/MT/DiffGeom3.htm

Térgörbék ábrázolása

Hengeres csavarvonal, kúpos csavarvonal, Viviani görbe

Az érintő

Az ívhossz

Az ívhossz, mint paraméter

http://gorbem.hu/MT/DiffGeom4.htm

Kísérő háromél (triéder)

Símulósík, normálsík, rektifikáló sík

Görbület

Torzió

Teljes görbület, Frenet képletek

A térgörbe vetületei a kísérő háromél síkjaiban

http://gorbem.hu/MT/DiffGeom5.htm

A csavarvonal

http://gorbem.hu/MT/DiffGeom6.htm

Görbesereg, burkoló, diszkrimináns görbe

Evolúta

Evolvens

http://gorbem.hu/MT/DiffGeom7.htm

Görbék és felületek kapcsolata

Illeszkedés

Felületek metszésvonala (1)

Körhenger és hiperbolikus paraboloid, két sík, két hengerfelület, két gömb, két körkúp,

http://gorbem.hu/MT/DiffGeom8.htm

Felületek metszésvonala (2)

Kúp és gömb, henger és gömb, henger és körkúp, henger és sík, kúp és sík

http://gorbem.hu/MT/DiffGeom9.htm

Felületek

Sík, gömb, ellipszoid, elliptikus paraboloid, elliptikus henger, elliptikus kúp, egyköpenyű hiperboloid, kétköpenyű hiperboloid, hiperbolikus paraboloid, tórusz

Felületi görbe, paramétervonal, érintősík, felületi normális, Möbius-szalag

http://gorbem.hu/MT/DiffGeom10.htm

Példák további felületekre

Forgásfelületek

Katenoid, pszeudoszféra

Vonalfelületek

Elliptikus henger, hiperbolikus henger, parabolikus henger, általános hengerfelület, általános kúpfelület, érintőfelület

Csavarfelületek

Egyenes csavarfelület, ferde csavarfelület

Eltolási felületek

http://gorbem.hu/MT/DiffGeom11.htm

Felületi görbék ívhossza

Felület első alapmennyiségei, felület első alapformája

Felületi vektorok szöge

Felszín értelmezése és kiszámítása

Gauss-féle jelölési rendszer

Néhány felület első alapmennyiségei és alapformája

Gömb, henger, kúp, z tengelyű forgásfelület, elliptikus paraboloid (I. és II.)

Néhány felületi görbe ívhossza

Gömb szélességi köre, hengeres csavarvonal egy menete, Viviani-görbe

http://gorbem.hu/MT/DiffGeom12.htm

Példák felületi görbék ívhosszára és hajlásszögére

http://gorbem.hu/MT/DiffGeom13.htm

Példák felszínszámításra

http://gorbem.hu/MT/DiffGeom14.htm

Felületek második alapmennyiségei és alapformái

Gömb, körhenger, kúp, egyenes csavarfelület, hiperbolikus paraboloid, forgásparaboloid, katenoid, sík, forgásellipszoid, egyköpenyű forgáshiperboloid, kétköpenyű forgáshiperboloid, tórusz

http://gorbem.hu/MT/DiffGeom15.htm

A felületi görbe görbülete

Meusnier tétel

Főnormálgörbületek, a Gauss és Minkowski féle görbületek

Gömb, henger, kúp, hiperbolikus paraboloid főnormálgörbületei

Euler tétele

Dupin-féle indikátrix

Asszimptota vonalak

Görbületi vonalak

http://gorbem.hu/MT/DiffGeom16.htm

Derivációs formulák

Gauss-féle egyenletek