Differenciálgeometria (3)

Térgörbék ábrázolása

Most lássunk néhány térgörbét. Az ábrázoláshoz a kavalieri-féle axonometriát fogom használni. Az (y, z) sík párhuzamos a rajz síkjával. Az x tengely a másik két tengellyel a rajzon 45 fokos szöget zár be, amelyen a skálázás a másik két tengely gyök 2-ed része.

Elsőnek a hengeres csavarvonalat ábrázoljuk, mely állandó emelkedéssel, egy henger felületén fut. A henger alkotóival mindig ugyanolyan szöget zár be, és ugyanazt az alkotót távolságra metszi legközelebb.

Hengeres csavarvonal ( – kék, tartó felülete henger, ami fehér)

Következő görbénk a kúpos csavarvonal. Ez egy kúpfelületen halad, ugyanúgy két paraméter (esetleg két függvény és egy paraméter) jellemzi, mint a hengeres csavarvonalat.

Kúpos csavarvonal ( – kék, tartó felülete kúp, ami fehér)

Példánkban: f(t) = t, g(t) = 2t és c = 1.

A harmadik görbénk egy gömb és egy körhenger palástjának a metszésvonala, ahol a henger átmérője a gömb sugara. Az ábra szerinti elrendezésben a henger sugara 3, tengelye a z tengellyel párhuzamos, és ez a tengely az egyik alkotója, amire a gömb egyik átmérője illeszkedik.

Viviani görbe ( – kék, tartó felülete gömb és henger, ami fehér, a gömb három koordinátasík metszete, a hengernek két alkotója és a tengelye van megrajzolva)

Az érintő

Definíció: Legyen az r(t) görbe t₀-beli pontja P₀. A t_n sorozat tartson a t₀-hoz, amint a t_n-hez tartozó P_n pontok is tartanak a P₀-hoz. Ekkor a P₀P_n szelők határhelyzetét az r(t) görbe t₀-beli érintőjének nevezzük, ha ez a t_n sorozattól függetlenül egyértelműen létezik.

Az r(t) görbe minden t₀ -beli P₀ pontjában van érintője, mely P₀ ponton átmenő irányvektorú egyenes. Az érintő egyenes paraméteres egyenlete:

mely egyenletben az vektor a görbe t₀ -beli érintővektora.

Az ívhossz

Geometriailag az r(t) görbe t₀ és t paraméterű pontjai közzé eső ívhosszát a görbére rajzolt, önmagát nem metsző (normális), finomodó (a szakaszok maximális hossza tart a nullához) törött vonalak hosszai halmazának a felső határa adja (ha létezik). Ezt az értékét – a valós függvénytanhoz hasonló módon – a következő integrállal számolhatjuk ki:

Az ívhossz, mint paraméter

Annak érdekében, hogy a görbe jellemzésében kiküszöbölhessük a választott paraméter hatását, olyan paraméterre van szükség, melynek értéke csak magától a görbétől függ. Kézenfekvő, hogy ez az ívhossz legyen. Belátható, hogy a görbe bármely reguláris parametrizációjából át lehet térni, megengedett paraméter-transzformációval az ívhosszra. Az ívhosszat a görbe természetes paraméterének nevezzük és s -el jelöljük.

Vegyük az s(t) -nek t-szerinti deriváltját:

Ha a paraméter az ívhossz, azaz t = s, akkor

Azt kapjuk tehát, hogy ívhossz-paraméter esetén az érintővektor hossza egységnyi.

A továbbiakban az ívhossz szerinti deriváltat vesszővel jelöljük, azaz: , megkülönböztetve ezzel az összes többi, általános paraméter szerinti deriválttól. Mivel -ből az adódik, hogy az és párhuzamosak, a két vektor csak egy skaláris szorzóban különbözik egymástól. Ezáltal a két derivált közötti kapcsolatot így írhatjuk le:

Nézzünk néhány példát arra, hogyan írható fel az általános paraméteres egyenletből az ívhossz-paraméteres alak. Elsőként nézzük az egyenest. Ha r₀(a, b) az egyik pontja, v₀(c, d) pedig az irányvektora akkor az egyenes egyenlete:

Ívhossz-paraméteres alakja:

Másodikként tekintsük a síkbeli kör következő előállítását:

Térjünk át a körnél a t paraméterről az s ívhossz paraméterre.

Harmadik példánk legyen a hengeres csavarvonal. Egyenlete:

Térjünk át is ívhossz paraméterre.

Következő lap: http://gorbem.hu/MT/DiffGeom4.htm