Differenciálgeometria (5)

A csavarvonal

Mozogjon egy anyagi pont egy szögű lejtőn felfelé irányban, egyenes vonalú egyenletes mozgással. Minél nagyobb a szög, annál nagyobb, minél kisebb, annál kisebb erővel tudjuk ezt az egyenletes mozgást fenntartani. Ilyen értelemben a lejtő egy egyszerű gép. Ha két lejtőt alapjaival összeillesztünk, akkor éket kapunk, ami szintén egy egyszerű gép. Ha a lejtőt idealizálva egy henger felületére csévéljük, akkor csavart kapunk, ami szintén egyszerű gép. Mindhárom esetben, minél kisebb a lejtő szöge, annál kisebb erővel tudunk, nagy erőkkel egyensúlyt tartani. Ha a lejtő szöge nulla, akkor nem kapunk egyszerű gépeket. Ekkor a henger felületén például a pálya körré alakul.

Ha a lejtő szöge nem nulla, akkor a henger felületén kialakult vonalat hengeres (vagy közönséges) csavarvonalnak nevezzük. A görbék természetes egyenleteinek tárgyalásakor megemlítettük, hogy ez az egyetlen olyan görbe, amelynek a görbülete és torziója is konstans (ezáltal önmagában eltolható, mint a csavar: elforgatható a csavaranyában – ez a csavar lényege). Ráadásul speciális eseteként megkaphatjuk belőle kört és az egyenest is. Ha a torziója nulla (azaz síkgörbe), akkor kört kapunk, ha a görbülete nulla, akkor pedig egyenest.

A differenciálgeometriában az egyenes gyakorlatilag nem tartozik a vizsgálandó görbék közé, hiszen irányvektorának deriválja azonosan nulla. Azt is mondhatnánk, hogy csak egyetlen egyenes létezik, mert mozgatással (csúsztatva forgatással) bármely kettő egymással fedésbe hozható. Egy egyenes tehát csak addig érdekes, ameddig megadjuk az egyenletét. Az egyenesnek, mint síkgörbének csak két dimenzióban van egyenlete, térben csak egyenletrendszere van (két sík metszetéből származik). Ugyanakkor az egyenesnek a távolság fogalmában alapvető szerepe van (felületen pedig a geodetikus vonalaknak). A körrel kapcsolatban már nem ez a helyzet, hiszen annyi kör van, amennyi a valós számok halmazának számossága. Két kör csak akkor hozható egymással fedésbe, ha azonos a sugara, azaz a görbülete. Így a kör a legegyszerűbb alakzata a görbék elméletének.

Nézzük újra a csavarvonalat. Ha a lejtőt úgy csévéljük a henger felületére, hogy az irányított tengelyét az óra járásával ellentétes irányban járja körül, akkor jobbmenetű csavarvonalat kapunk (jobb kéz kinyújtott hüvelykujja a tengely – és egyúttal a mozgás – irányába mutat, a további behajlított ujjak a körüljárás irányába mutatnak). Ellenkező esetben a csavarvonal balmenetű. Ha a lejtő szögét negatívnak választjuk, azaz valóban lejt a lejtő, akkor balmenetű csavarvonalat kapunk (ezt bal kézzel tudjuk az előzőhöz hasonlóan szemléltetni).

Vajon milyen viszonyban van az ugyanolyan sugarú hengerre, ugyanolyan nagyságú szöggel készült jobbmenetű és balmenetű csavarvonal? Tudjuk, hogy egy görbe görbülete nem lehet negatív, ennek a két görbének pedig minden pontban ugyanaz a görbülete. A két csavarvonal torziójának a nagysága is egyenlő. Ha az előjele is azonos lenne, akkor a két görbe mozgatással egymással fedésbe hozható lenne. De ez nem így van. Ha elkészítünk egy jobbmenetes és egy balmenetes csavart, akkor ezek nem csavarhatók be ugyanabba a csavaranyába, nem helyettesíthetik egymást (azaz van jobb és balmenetes csavaranya is). Ezt olyan esetekben használják fel, ahol fontos a biztonság. (Mivel a csavarok 99 százaléka jobbmenetes, így például a gázpalackok menetes csatlakozóját balmenetesnek készítik, részben kivédve ezzel a házi barkácsolást.) Vagyis a jobbmenetű csavarvonal torziója pozitív, a balmenetűé negatív. A következő két ábrán a kétféle csavarvonalat látjuk, és megrajzoltuk néhány pontban a kísérő triédert is. (érintővektor: zöld, főnormális: fekete, binormális: piros színnel van megrajzolva). A csavarvonal egyenlete ívhossz-paraméterben:

Az ábrázolt jobbmenetes csavarvonal egyenletrendszere:

Az ábrázolt balmenetes csavarvonal egyenletrendszere:

A hengeres csavarvonallal kapcsolatban megemlíteném még azt, hogy a DNS kettős spirálja is csavarvonal alakú (legalábbis nagyon hasonló hozzá) és jobbmenetes. Ilyen alapon az élővilág féloldalas, mert ebben a világunkban a balmenetesnek elkészített DNS beilleszthetetlen lenne.

A fent ábrázolt két csavarvonal egymásnak az (x, y) síkra vonatkozó tükörképe. Ennek a transzformációnak a mátrixa:

Ennek a mátrixnak a determinánsa -1, azaz ez egy nem valódi mozgás.

A közönséges csavarvonal kísérő triédere:

Ezekből az is látható, hogy a T torzió és a B előjele azonos.

Írjuk fel a Frenet formulákat is:

A csavarvonal Darboux-vektora:

A csavarvonal teljes görbülete :

Erről látható, hogy ez valóban a Darboux-vektor hossza.

A simulókör egyenlete általános görbe esetén ívhossz-paraméterben:

Az egyenlet alakja csavarvonal esetén:

A kör egyenletébe ezeket beírva:

Ábrázoljuk a fenti jobbmenetes csavarvonal esetén a simulósíkot és a simulókört (a simulósík fehér, a simulókör piros, érintővektor zöld és a főnormális fekete):

Használjuk a továbbiakban az általános paramétert. Ekkor a csavarvonal egyenlete:

A deriváltak:

Simulósík egyenlete:

A görbület általános paraméterek esetén:

Ez alapján:

A torzió általános paraméterek esetén:

Ez alapján:

Amint várható volt, a görbület és torzió képlete általános paraméter esetén is a definíció szerinti értéket szolgáltatta. Azt is jelenti mindez, hogy a görbület és a torzió értéke valóban független a paraméterezéstől, mindkettő a görbe belső tulajdonsága, vagyis mindkettő a görbe invariánsa.

Ha egy kicsit megvizsgáljuk a B szélsőséges értékeire a képleteket, akkor rögzített R mellett a következőket kapjuk:

Azaz, ha a B nullához tart, akkor a görbületi sugár a henger görbületi sugarához tart, ha a B végtelenhez tart, akkor a görbületi sugár nullához tart (a görbe kiegyenesedik, a henger alkotójává válik). Ugyanakkor a torzió mindkét esetben nullához tart (mivel a körnek és az egyenesnek egyaránt nulla a torziója, hiszen síkgörbék). Ugyanez rögzített B esetén R-től függően a következőket kapjuk:

Azaz, ha R nullához tart, akkor a görbület is, viszont a torzió a B reciprokához tart (miközben ponttá – vagyis inkább egyenessé – zsugorodik, a torziója nem tűnik el). Ugyanakkor, ha R a végtelenhez tart, akkor a görbület és a torzió is nulla lesz (a csavarvonal kiegyenesedik).

Most nézzük meg mekkora szöget zárnak be a csavarvonal kísérő triéder elemei a henger alkotóival (használjunk újra ívhossz-paramétert). Ha a henger tengelye a z koordinátatengely, akkor alkotóinak érintővektora:

Ennek és a csavarvonal érintője szögének koszinusza a skaláris szorzatból adódóan:

Amint látható, a csavarvonal a tartóhengere minden alkotóját, minden pontban ugyanazon szög alatt metszi. A főnormális és az alkotó szöge:

Vagyis a csavarvonal főnormálisa mindig merőleges az alkotóra, mindig a tartóhenger tengelye felé mutat. A binormális és az alkotó szöge pedig:

Megállapítható, hogy mindhárom szög állandó egy adott csavarvonal esetén. A főnormális és az alkotó szöge még a csavarvonal paramétereitől sem függ, mindenképpen 90 fok. Nézzük, hogyan alakulnak a szögek, ha az R és a B nullához, illetve végtelenhez tart. Érintővektor esetén:

Binormális estén:

Következő lap: http://gorbem.hu/MT/DiffGeom6.htm