Differenciálgeometria (6)

Differenciálgeometria (6)

Görbesereg, burkoló, diszkrimináns görbe

Egy vagy több paramétertől függő görbék halmazát görbeseregnek nevezzük. Görbesereget kapunk például, ha egy tetszőleges görbét egy ka vektorral eltolunk, ahol a egy konstans vektor, a k pedig egy tetszőleges valós paraméter (akár végtelen sok értékkel). Görbesereg például azon kétegységnyi sugarú körök halmaza, melyeknek a középpontjai az x tengelyen vannak. Görbesereg az összes olyan parabola, mely az y = x² eltolásából keletkezik úgy, hogy azok érintik az y = 2x-1 egyenest. De görbesereg például egy henger összes csavarvonala. Ez utóbbi térbeli, kétparaméteres görbesereget alkot. Az említett két síkbeli görbesereg rajzban:

Egy síkbeli görbesereg burkolójának nevezünk egy olyan görbét, amelynek

- a sereg minden görbéjével egyetlen közös pontja van,

- a közös pontokban a burkoló érinti a sereggörbét.

A továbbiakban csak síkbeli görbeseregekkel foglalkozunk. Legyen adva egy görbesereg a következő implicit formában: F(x, y, c) = 0 (ahol F kétszer deriválható függvénye a változóinak). Ahhoz, hogy egy x = x(c), y = y(c) görbe burkolója legyen az F(x, y, c) = 0 görbeseregnek szükséges, hogy:

teljesüljön. A fenti két síkbeli példában a görbesereg burkolói:

A parabolák esetén:

A fenti szükséges feltétel még nem elégséges ahhoz, hogy az x = x(c), y = y(c) burkoló legyen. A szükséges feltételeket teljesítő görbét diszkrimináns görbének nevezzük. Lássunk példát olyan görbeseregre, hogy a feltételeket teljesítő görbe nem burkoló.

Ennek a görbeseregnek az x = 0, y = c egyenesen csúcspontjai vannak (Neil-féle parabolák), azaz az x = 0 egyenes egy diszkrimináns görbe (kék színnel jelölve):

Tehát az egyenesnek valóban egy közös pontja van a görbesereg elemeivel, de a csúcspontok miatt nem érinti azokat, ezért nem burkoló. Ha egy diszkrimináns-görbére még a következők is teljesülnek (elegendő feltétel), akkor biztosan burkoló lesz:

Most nézzünk egy olyan példát, amely arra mutat rá, hogy az elegendő feltétel nem szükséges. Tekintsük a következő görbesereget és burkolóját:

Ebben a példában az y = x³ harmadfokú parabolákból álló görbeseregről van szó. Ennek az x tengely a burkolója (kékkel jelölve, mely érint és egy közös pont van, habár metszi is a görbéket), holott a második derivált minden c-ben eltűnik, azaz az elégséges feltétel második része nem teljesül.

Mivel többek között fizikatanár is vagyok, talán érthető a következő példa: mozogjon egy hangforrás egyenes vonalú egyenletes mozgással egy olyan közegben, melyben a hangnak a terjedési sebessége c = Mach. A jelenség térbeli, de most csak síkban ábrázolnám (a valóság a rajzok x tengely körüli megforgatásával állítható elő). Ha a hangforrás v sebessége a hang terjedési sebességénél nagyobb, azaz a hangforrás elhagyja saját hangját (legyen például a kétszerese), akkor egy hangkúp keletkezik. A jelenség síkbeli megfelelője esetén egy körsereget kapunk, melynek burkolója két félegyenes (térbeli megfelelője a hangkúp, mely a saját felületére merőleges irányban halad, vagy növekszik Mach sebességgel):

Ha a hangforrás sebessége kisebb, mint a Mach, akkor is kapunk a síkbeli leképezéskor körsereget, csak ekkor burkolója nem létezik. Ilyenkor a hangtér így néz ki (síkban):

Ha a hangforrás a térben pontosan a Mach sebességgel akar menni (fizikailag ez eléggé nehézkes), akkor hangkúp helyett egy hangsík keletkezik, ahogy az alábbi rajzon látható. Ez a hangsík Mach sebességgel halad a hangforrással egyező irányban, vele együtt.

Az első és a harmadik esetben fellép az úgynevezett hangrobbanás. Látható, hogy a második esetben a tér minden pontjára a hanghullámok időben elosztva érkeznek meg, itt legfeljebb a Doppler-jelenség figyelhető meg (ez a frekvencia eltolódás: közeledő hangforrásnál a magasabb, távolodónál mélyebb hangok felé). Nem így például az első esetben. Ekkor a hangkúp előtt még nem hallunk semmit, viszont amikor megérkezik a hang, akkor egy adott pontban sok, egymástól különböző pontból induló hanghullám éri el a megfigyelőt, és ezeknek a hanghullámoknak az ereje összeadódik, vagyis erős hanghatást, hangrobbanást hallunk. Ez a hanghatás károsíthatja az élőlényeket, és épített környezetünket. Szuperszonikus, azaz Mach feletti repülésnél is megfigyelhető hangrobbanás. Ilyen volt például a francia Concorde gép, amiknek a Mach feletti repülését csak az Atlanti óceán felett engedélyezték. A legintenzívebb hatások a v = Mach sebességnél tapasztalhatók. Kezdetben a repülők ezt csak nehezen tudták átlépni, sőt károsodtak is, esetleg lezuhantak, mert nem bírta szerkezetük a nagy terhelést. Hogy minél kisebb ideig haladjanak a repülőgépek a Mach közelében, ma is legtöbbször süllyedésben (a gravitációs erőt is felhasználva) lépik át ezt a határt.

Ábrázoljuk a következő görbesereget és határozzuk meg a görbesereg burkolóját:

A görbesereg tehát két körsor (az egyik körsor köreinek középpontja az y = x, a másiknak az y = -x egyenesen vannak), burkolói pedig a koordinátatengelyek:

Határozzuk meg annak a görbeseregnek a burkolóját, amelynek elemei ugyanakkora, T területű háromszöget zárnak be a koordinátatengelyekkel. Legyen az egyenesek egyenlete tengelymetszetes:

Válasszuk az b -t a görbesereg paraméterének (T = állandó). A görbesereg egyenlete:

Megmutatjuk, hogy ennek a görbeseregnek a burkolója az xy = T/2 hiperbola. Legyen a hiperbola paramétere is b:

Ezeket a görbesereg egyenletébe és annak deriváltjába helyettesítve b -t meghatározhatjuk:

Ez utóbbi pedig azt bizonyítja, hogy a megadott hiperbola valóban burkoló. Mivel a T csak pozitív lehet de a és b negatív is, a burkoló másik függvénye: xy = -T/2. Lássuk mindezt ábrázolva:

Ebben a példában az Ax + By + C = 0 egyenes seregnek az x² + y² = R² kör a burkolója. Határozzuk meg, milyen feltételeknek kell eleget tenni az A, B és C együtthatóknak.

Evolúta

Legyen az síkgörbe olyan, hogy görbületének differenciálhányadosa sehol sem tűnik el. Ekkor az evolútáján értjük görbületi középpontjainak a mértani helyét. Ha az evolútát jelöli, akkor egyenlete:

Általában az s nem ívhossza az evolútának.

Ha a görbét paraméteres egyenletrendszerrel (x = f₁(t), y = f₂(t)) adjuk meg, akkor az evolúta egyenlete:

Írjuk fel és rajzoljuk is meg néhány görbe evolútáját. Első görbénk legyen az ellipszis:

Az evolútája:

Mindez rajzban:

A rajzon öt ellipszis és az evolútája látható. Az ellipszis nagytengelye állandó (a = 2), a kistengelyt 1 -ről 1,8 -ra növeltük. A könnyebb azonosítás végett az egymáshoz tartozó görbéket ugyanazzal a számmal jelöltük. Az ellipszis evolútája egy négy csúcspontú görbe. A csúcspontok ott jönnek létre, ahol az ellipszis görbületének szélső értéke van. Éppen ezeket a pontokat vettük ki a vizsgálatainkból, amikor azt feltételeztük, hogy a görbület első deriváltja sehol sem tűnik el. Minél kevésbé különbözik a kis- és nagytengely, az evolúta területe annál kisebb lesz. Ha az ellipszis egyenletében a = b -t választunk, akkor kört kapunk. Az egyenletekből látható, hogy ekkor az evolúta a kör középpontjává zsugorodik.

Második legyen a parabola:

Az evolútája:

Megrajzolva:

Itt is látható, hogy a csúcspont a parabola legkisebb görbületéhez tartozik.

Most vizsgáljuk meg a harmadfokú parabolát:

Evolútája:

Rajzban:

Ennek az evolútának is van két csúcspontja.

Nézzük meg a negyedfokú parabolát is:

Az evolútája:

Rajzban:

Semmi különös, ennek az evolútának is van két csúcspontja.

Végül lássuk a szinuszgörbét:

Ennek evolútája:

Megrajzolva:

A csúcspontmentességet itt sem úsztuk meg. A szinuszgörbe minden szélsőérték helyéhez tartozó pontban az evolútájának csúcspontja van.

Evolvens

Legyen az síkgörbe olyan, hogy görbületének differenciálhányadosa sehol sem tűnik el. Ekkor az evolvensén a görbe érintőit végig merőlegesen metsző vonalakat értünk. Tehát nem egy görbéről, hanem egy görbeseregről van szó. Ezeket a vonalakat szokták a görbe ortogonális (azaz merőleges) trajektóriáinak is nevezni. Ha a görbe evolvenseit jelöli, akkor egyenlete:

képletében s>s₀, ahol s₀ a seregparaméter. Ennek a képletnek a helyességét deriválással könnyű belátni, hiszen:

Látható, hogy a érintője főnormális irányú, azaz merőleges a görbe érintőjére. Az evolvens egyszerű szerkesztési módja a következő: ha görbére az s₀ ponttól kiindulva egy fonalat görbítünk, majd ezt egy s pontban rögzítjük. Ha utána a fonalat kifeszítve az s₀-tól kezdve lefejtjük, akkor az s₀ -ból induló pont egy eveolvenst ír le. Ebben az s₀ pontban az evolvensnek csúcspontja van (nem mehet át a görbén).

Az evolvens és az evolúta egyfajta duálisai egymásnak. Ugyanis az görbe bármely evolvensének az evolútája az . Megfordítva: görbe evolútájának egyik evolvense az . Továbbá az is igaz, hogy az evolúta s₁ és s₂ paraméterű pontjai közé eső ívének a hossza az eredeti görbe s₁ és s₂ paraméterű pontjaiban vett görbületi sugarainak különbségével egyenlő. Jelölje az evolúta ívhosszát. Ekkor: