Differenciálgeometria (8)

Differenciálgeometria (8)

Felületek metszésvonala (2)

Most vizsgáljuk meg egy kúp és egy gömb metszetét. A kúp tengelye legyen a z tengely, és legyen középponti helyzetű. A gömb középpontja legyen az (x, z) síkon. Az alakzatok egyenletei:

A kúp és a gömb metszetének meghatározásához, a két egyenlet felhasználásával, fejezzük ki az x és az y változót a z -vel. Kezdjük azzal, hogy a kúp egyenletéből kivonjuk a gömb egyenletét:

Így a metszésvonal paraméteres egyenletrendszere:

Nézzük meg mindezt rajzban:

K = 1; R = 2; A = 0; B = 0

Ennél az esetnél két kör a metszésvonal.

K = 1; R = 2; A = 1; B = 2

K = 1; R = 2; A = 2; B = -2

K = 0,8; R = 2; A = 1; B = 1

K = 1; R = 2; A = 2; B = 0

Most vizsgáljuk meg egy henger és egy gömb metszetét. A henger tengelye legyen a z tengely. A gömb középpontja az x tengelyen legyen. A felületek egyenletei:

Következhetnek a szokásos lépések:

A metszet paraméteres egyenletrendszere:

Nézzünk most is rajzokat. Fokozatosan közelítsük a gömb középpontját a henger tengelyéhez.

R1 = 1; R = 2; A = 2,9

Ebben az esetben a gömb még alig metsz bele a hengerbe.

R1 = 1; R = 2; A = 2

Most a metszet már elég méretes, átmérője a henger átmérőjénél is nagyobb.

R1 = 1; R = 2; A = 1,02

A metszet két, eredetileg távolabb lévő pontja kezd egymáshoz közelíteni.

R1 = 1; R = 2; A = 1

Kettőspont jött létre, a Viviani görbét kaptuk.

A kúp és gömb metszésvonalánál is kaptunk egy ehhez nagyon hasonló görbét. A szakirodalom a henger és gömb eme speciális metszetét nevezi Viviani-féle görbének. Lehet, hogy a fentebbi gömb-kúp metszet is Viviani-féle görbe? Járjunk utána. Vegyük fel a gömböt és kúpot a Viviani-görbének megfelelően, és adjuk meg a metszésvonal paraméteres egyenletrendszerét:

Most hajtsuk végre ugyanezt gömb és henger esetén:

Jól látható, hogy a paraméteres előállítások azonosak, így ugyanazt a görbét írják le. Vagyis a gömbnek és a kúpnak a fenti metszete szintén Viviani-féle görbe. A Viviani-görbe tehát három felület, a gömb, a henger és a kúp metszeteként is előállítható. Ebből két előállítást már igazoltunk. Nézzük a harmadikat, azaz a kúp-henger párt.

Ugyanazt a görbét kaptuk. Összefoglalva a három felület és a Viviani-féle görbe:

Tehát a három felület és metszetük a Viviani-féle görbe:

R1 = 1; R = 2; A = 0,95

Tovább mozgatva a gömböt a henger tengelye irányába a görbe két különálló részre esik szét.

Most vizsgáljuk meg egy henger és egy körkúp metszetét. A kúp tengelye legyen a z tengely és legyen középponti helyzetű. A henger tengelye legyen párhuzamos az x tengellyel. Ilyen feltételekkel a felületek egyenletei:

Fejezzük ki x -et és y -t a z segítségével:

A metszet paraméteres egyenletrendszere:

Most is nézzünk meg néhány metszetet programmal:

K = 1; R = 2; A = 0; B = 0

K = 1; R = 1,5; A = 1,5; B = 0

K = 1; R = 1,5; A = 1,5; B = 1

K = 1; R = 1,5; A = 1,5; B = -1

Most vizsgáljuk meg egy henger és egy sík metszetét. A henger tengelye legyen a z tengely. Az egyenletek:

Fejezzük ki x -et és z -t a y segítségével:

A metszet paraméteres egyenletrendszere:

Ezt ábrázolva ismerősnek fog hatni, hiszen a metszet természetesen ellipszis:

R = 1,5; A = 1; B = -1,5; C = 1

Végül nézzük meg egy kúpfelület és egy sík metszetét. A kúp tengelye legyen a z tengely és legyen középponti helyzetű.

Geometriai ismereteinkből tudjuk, hogy a metszet kúpszelet lesz. Azaz:

- Kör, ha a sík merőleges a kúp tengelyére (ha illeszkedik a kúp csúcsára, akkor a metszet egy pont);

- Ellipszis, ha a sík a kúp tengelyével a kúp fél-nyílásszögénél nagyobb szöget zár be (ha illeszkedik a kúp csúcsára, akkor a metszet egy pont);

- Parabola, ha a sík párhuzamos a kúp valamelyik alkotójával (ha az alkotó benne van a síkban, akkor a metszet egy egyenes);

- Hiperbola, ha a sík a kúp tengelyével a kúp fél-nyílásszögénél kisebb szöget zár be (ha a sík illeszkedik a kúp csúcsára, akkor a metszet egy metsző egyenes-pár).

Járjuk végig a szokásos eljárásunkat és lássuk mit kapunk:

A két felület egyenlete: