Izogonális pont (4)

Egy geometriai szélsőérték feladat

Feladat: Adott a síkban n darab pont. Keresendő az a pont, amelyből az adott pontokba húzott szakaszok hosszának az összege – a sík bármely pontjára nézve – a lehető legkisebb.

A feladattal kapcsolatban érdekesnek tartom a következő kérdést. Adjuk meg n-1 pont esetén azokat a pontokat (tartományt, nevezhetjük ezt is IMT -nek), amelyről nem mozdul el az I, akárhova is vesszük fel az n-edik pontot. Hogy ezzel érdemben lehessen foglalkozni, n-nek legalább 3-nak kell lenni. Azaz két pont esetén határozzuk meg azt a tartományt, amelyről biztosan nem mozdul el az I, ha egy harmadik pontot hozzáveszünk az előző kettőhöz. Ha a három pont esetére adott megoldásra gondolunk, akkor ki is találhatjuk mi lehet ez a tartomány. Ha a pontok által alkotott háromszögnek minden szöge kisebb mint , akkor látószögekkel is megoldható a feladat. Ebből a szerkesztésből adódik, hogy egy szakasz esetén a szakasz mindkét oldalára rajzolt -os látószöghöz tartozó körívek által határolt terület lehet az IMT. A programot kiegészítettem egy T funkcióval, így ennek a tartománynak a megrajzolására is képes. A program az utolsó pont koordinátáit mindig (0, 0) -nak veszi, ezt lehetne bárhova elhelyezni a síkon. Lássunk néhány esetet:

n-1=2 eset.

Sejtésünket a program igazolta. A -os látószöghöz tartozó körívek által meghatározott terület lett az IMT.

n-1=3 eset.

Ekkor a négyszög esetéről van szó. Ha a megadott 3 pont kollineáris, akkor az IMT a három pont által meghatározott szakasz. Ha ugyanis a negyedik pont is rajta van az egyenesen, akkor a középső szakasz a I, ha nincs akkor a három pontból a középső. Mivel az I -kereső, fokozatos közelítő eljárás csak egyetlen pontot ad meg, ebben az esetben nem várhatunk hű képet az IMT -ről. Ennek ellenére futtassuk a programot ilyen pontokra is. Ha a fokozatos közelítés alapléptékét elég kicsinek választjuk, akkor gyakorlatilag nem mozdul el az eredmény a középső ponttól (itt a (-1,-1) -től). Ha léptéket a húszszorosára növeljük, akkor ezt látjuk.

Azaz látunk némi akaratot arra, hogy az IMT nem egyetlen pont. Látható, hogy nagyjából a szakasz vonalában találna megoldási pontokat, csak a pontatlanság miatt ez gyakorlatilag nem hasznosítható. Azaz erre az esetre a keresési eljárás nem megfelelő. Még szerencse, hogy elemi geometriai megfontolásokkal belátható, az IMT valóban a három pont által meghatározott szakasz.

Térjünk rá arra az esetre, amikor van a négy pontból három, ami háromszöget határoz meg. Válasszuk kiindulásnak ezt a három pontot. Sejtésünk, hogy az IMT ennek a háromszögnek a területe. Nézzük:

Az eljárás valóban megadja a háromszöget, az IMT a háromszög belső és kerületi pontjaiból áll.

n-1=4 eset.

Alkosson a négy pont először négyzetet.

Várható volt, valamilyen szabályos alakzatot fogunk kapni. Egy csúcsainál lekerekített négyzetet láthatunk IMT -ként. Másodjára alkosson a négy pont konvex négyszöget.

Harmadik esetben alkosson a négy pont olyan konvex, melynek két 180 fokhoz közeli szöge van. Ekkor ez a két csúcs beletartozik az IMT -be. Legyen a két nagyszögű csúcs szomszédos:

Vagy szemközti:

Negyedik esetben konkáv négyszöget.

Ez utóbbihoz annyit, hogy a konkáv csúcs hozzátartozik az IMT -hez. Az eredményt úgy magyarázhatjuk, hogy ha az öt pont kétszeres konkáv ötszöget határoz meg, akkor az I ezek közelében található, szerencsés esetben az egyik ponttal egybeesik.

n-1=5 eset.

Alkosson az öt pont konvex ötszöget:

Alkosson konkáv ötszöget:

Alkosson kétszeresen konkáv ötszöget:

Megállapítható, hogy a konkáv csúcsok hozzátartoznak az IMT -hez.

Összességében a fokozatos közelítő eljárással – egyféle eset kivételével – mindig sikeresen lehetett a feladatot megoldani. A megoldások gyakran tartalmaztak eredeti pontokat is. Ilyen fordult elő három pontnál, illetve tartalmazott nagyszögű csúcspontokat (beleértve konkáv csúcsokat is). Egyéb konkrét példákkal már nem foglalkoznék. Viszont egy véletlenszerű 10 pontosat még megmutatnék, ahol egy belső pontot szintén megtalált az eljárás:

Következő lap: http://gorbem.hu/MT/Izogonalis5.htm