Közepek

A középiskolai matematika oktatásában egyre nagyobb szerepet kapnak a halmazok, a relációk és a függvények. A függvényszerű oktatás kiteljesedésekor érdeklődésre tarthat számot a középiskolában tárgyalható közepeknek az azonos módon történő származtatása – függvények segítségével. Az emelt szintű matematika-oktatásban vagy szakkör keretében elképzelhető a téma feldolgozása, mely módot nyit az önálló munkára, jól szolgálja a tananyag mélyebb megértését.

Nézzük a közismert közepeket (feltételezve, hogy a változók mind megengedett értékűek):

Számtani (vagy aritmetikai) közép:

Mértani (vagy geometriai) közép:

Harmonikus közép:

Négyzetes közép:

Ezen közepek között a következő nagyságrendi viszony érvényes:

A négyzetes középnek az általánosítása a hatványközép. Ha a négyzetet és a négyzetgyököt k. hatvánnyal és k. gyökkel helyettesítjük, ezt kapjuk:

Nem nehéz meglátni a hasonlóságot a hatványközép és a többi, összegzést tartalmazó közép között. Az általánosítás megfordításaként a hatványközép k = 2 esetén négyzetes, k = 1 esetén számtani, k = –1 esetén harmonikus közepet ad.

De vajon ezzel mindenféle rokonság feltárva és nincs más logikai kapcsolat a közepek között. Merjünk arra gondolni, hogy itt még lehet valamit találni. Hátha még a mértani közép is bekerül a rokoni körbe. Vegyük észre, hogy a közepek definíciói valamilyen függvény-inverzfüggvény kapcsolatot tartalmaznak. A négyzetes középnél az elemeket először négyzetre emeljük, majd négyzetgyököt vonunk, hatványközépnél k. hatványt képezünk, majd k. gyököt vonunk. Általánosítsunk. Ne ragaszkodjunk a hatványozáshoz. Legyen

F(x) : (0,∞) → (–∞,∞)

egy szigorúan monoton függvény. Mivel ez invertálható, legyen az inverze

F^-1(x) : (–∞,∞) → (0,∞).

Az a pozitív valós számot az a₁, a₂,…,a_n pozitív számok additív függvényközepének nevezzük, ha a következőképpen áll elő:

Az m pozitív valós számot az a₁, a₂,…,a_n pozitív számok multiplikatív függvényközepének nevezzük, ha a következőképpen áll elő:

A két definiáló képletet összevetve láthatjuk, hogy a másodikban az összegzést a szorzás, a n-nel való osztást az n. gyök váltotta fel. Már most eszünkbe juthatnak erről a logaritmus azonosságai, ahol szorzat logaritmusa egyenlő a tényezők logaritmusának összegével (természetesen megfelelő feltételek teljesülése esetén).

Additív függvényközepek

A)

Ha az additív függvényközép definíciójában F(x) = x^c (ahol c<>0 valós konstans), akkor az így előálló közepeket hatványközepeknek nevezzük. Tehát:

és

1.) Ha c = 1, akkor számtani közép adódik:

2.) Ha c = k (k>1 egész), akkor a hatványközép adódik:

3.) Ha c = –1, akkor a harmonikus közepet kapjuk:

4.) Ha c = –k (k>1 egész), akkor hatványozott harmonikus közepet kapunk:

5.) Ha (k>1 egész), akkor inverz hatványközép adódik:

6.) Ha (k>1 egész), akkor inverz hatványozott harmonikus közepet kapunk:

7.) Ha (p, q > 1 egész), akkor vegyes hatványközepet kapunk:

8.) Ha (p, q > 1 egész), akkor inverz vegyes hatványközepet kapunk:

B)

Ha az additív függvényközép definíciójában F(x) = log_k x (ahol k>1 egész), akkor az így előálló közepeket exponenciális közepeknek nevezzük. Tehát:

F(x) = log_k x és F^-1(x) = k^x

Ez a függvény k-tól függetlenül mindig ugyanazt a közepet állítja elő:

Ez a közép, amint az látható, a mértani közép.

C)

Ha az additív függvényközép definíciójában F(x) = k^x (ahol k>1 egész), akkor az így előálló közepeket logaritmikus közepeknek nevezzük. Tehát:

F(x) = k^x és F^-1(x) = log_k x

Ez a függvény k-tól függetlenül mindig ugyanazt a közepet állítja elő:

Az F(x) függvény további speciális eseteitől itt és most eltekintünk.

Multiplikatív függvényközepek

A)

Hatványközepek:

és (ahol c<>0 valós)

Bármely c-re:

Azaz a mértani közép adódik.

B)

Exponenciális közepek:

F(x) = log_k x és F^-1(x) = k^x esetén

C)

Logaritmikus közepek:

és esetén

Ez viszont a c értékétől függően az additív hatványközepeket adja. (Lásd: additív függvény szakasz 1. – 8. pont.)

Következmény: A multiplikatív logaritmikus közepek megegyeznek az additív hatványközepekkel. Az additív exponenciális közép megegyezik a multiplikatív hatványközéppel. Az additív logaritmikus közép és a multiplikatív exponenciális közép viszont különböznek.