Lineáris algebra

Lineáris (vektor) tér

Vektortér: Legyenek a,b,c,... számok egy R számtest elemei, x,y,z,... pedig egy V halmaz elemi. A V halmazt az R feletti vektortérnek nevezzük, ha

1.) bármely x és y eleme V-hez egyértelműen tarozik V-ből egy x+y-nal jelölt elem, melyet x és y összegének nevezünk, a következő tulajdonságokkal:

a) kommutatív: x+y=y+x;

b) asszociatív: x+(y+z)=(x+y)+z;

c) létezik 0 additív egység (zérus elem), hogy bármely x-re: x+0=x;

d) létezik -x additív inverz, hogy bármely x-re: x+(-x)=0;

2.) bármely x eleme V-hez és bármely a eleme R-hez egyértelműen tarozik V-ből egy a*x -nal jelölt elem, melyet az x szám-szorosának nevezünk, a következő tulajdonságokkal:

a) 1*x=x;

b) a*(b*x)=(a*b)*x;

3.) a számmal végzett szorzás és az összeadás disztributív:

a) (a+b)*x=a*x+b*x;

b) a(x+y)=a*x+a*y;

A vektorteret szokás lineáris térnek is nevezni.

A vektortér elemeit vektoroknak nevezzük.

A számtest elemeit skalároknak is hívhatjuk.

Lineáris függetlenség: A V vektortér x₁,x₂,...,x_n vektorait lineárisan függetleneknek nevezzük, ha az

a₁*x₁+a₂*x₂+...+a_n*x_n=0 (1)

összefüggés csak a₁=a₂=...a_n=0 esetén áll fenn, ellenkező esetben azt mondjuk, hogy lineárisan függők. Az (1) összefüggést az x₁,x₂,...,x_n vektorok lineáris kombinációjának nevezzük.

Dimenzió: Egy V vektorteret n-dimenziósnak nevezünk, ha létezik benne n lineárisan független vektor, de bármely n-nel nagyobb vektorrendszer már lineárisan függő.

Bázis: Az N-dimenziós V vektortér bármely n számú lineárisan független vektorrendszerét a tér egy bázisának nevezzük, e vektorok mindegyikét pedig, bázisvektoroknak.

Tétel: Az n dimenziós V vektortér minden vektora egyértelműen előállítható a bázisvektorainak lineáris kombinációjaként.

Koordináták: Ha e₁,e₂,...,e_n az N-dimenziós tér egy bázisa, és x=k₁*e₁+k₂*e₂+...+k_n*e_n akkor a k₁,k₂,...,k_n számokat az x vektor e₁,e₂,...,e_n bázisra vonatkozó koordinátáinak nevezzük.

Euklideszi vektortér: Az olyan vektorteret, amelyben definiálva van egy, (x,y)-nal jelölt,

a) (x,y)=(y,x);

b) (a*x,y)=a*(x,y);

c) (x₁+x₂,y)=(x₁,y)+(x₂,y);

d) (x,x)>0, ha x<>0 és (x,x)=0 ha x=0

tulajdonságokkal rendelkező skaláris (belső) szorzás, euklideszi vektortérnek nevezzük.

Vektor hossza: Az euklideszi vektortér x vektorának abs(x)-szel jelölt hossza alatt, önmagával vett skaláris szorzatának négyzetgyökét értjük:

abs(x)=sqrt((x,x)).

Két vektor szöge: Az euklideszi vektortér két x,y vektorának szögét a

cos(φ)=(x,y)/abs(x)/abs(y)

összefüggéssel értelmezzük.

Ortogonális vektorok: Az euklideszi tér két x,y vektorát ortogonálisnak (merőlegesnek) nevezzük, ha (x,y)=0.

Ortogonális, ortonormált bázis: Az e₁,e₂,...,e_n vektorok az N-dimenziós euklideszi vektortérben ortogonális bázist alkotnak, ha páronként ortogonálisak, azaz ha (e_i,e_j)=0, ha i<>j. Ha az ortogonális bázis vektorai egységnyi hosszúak, azaz ha (e_i,e_j)=0, ha i<>j és (e_i,e_j)=1, ha i=j, akkor az e₁,e₂,...,e_n vektorok ortonormált bázist alkotnak.

Tétel: Ortonormált bázis választása esetén az euklideszi vektortér két vektorának skaláris szorzata egyenlő a két vektor koordinátainak szorzatösszegével:

(x,y)=k₁*l₁+k₂*l₂+...+k_n*l_n.

Lineáris transzformációk

Lineáris transzformáció: Ha az N-dimenziós V vektortér minden x vektorának a V tér egy y=A(x) vektora felel meg és teljesülnek az alábbi feltételek:

a) A(x₁+x₂)=A(x₁)+A(x₂);

b) A(a*x)=a*A(x),

akkor az y=A(x) függvény a tér lineáris transzformációjának nevezzük. Az A(x) lineáris transzformációt röviden Ax -szel fogjuk jelölni.

Tétel: Egy lineáris transzformációt egyértelműen meghatározzák a bázisvektorok transzformáltjai.

Azaz: g₁=Ae₁, g₂=Ae₂, ... , g_n=Ae_n. Ekkor bármely x=k₁*e₂+k₂*e₂+...+k_n*e_n

transzformáltja:

Ax=A(k₁*e₂+k₂*e₂+...+k_n*e_n)=k₁*Ae₁+k₂*Ae₂+...+k_n*Ae_n=k₁*g₁+k₂*g₂+...+k_n*g_n.

Mátrix: Tekintsük az A lineáris transzformációt egyértelműen meghatározó g_j vektoroknak az e₁,e₂,...,e_n bázisra vonatkozó koordinátáit és jelöljük ezeket a_1j,a_2j,...,a_nj-vel. Ekkor g_j=Ae_i=szumma(i=1-tol n-ig)e_i*a_ij, (j=1,2,...,n). Ha ezeket a koordinátákat négyzetes táblázatba rendezzük, akkor egy kvadratikus (négyzetes) mátrixot kapunk:

A= [ a₁₁ a₁₂ ... a_1n

a₂₁ a₂₂ ... a_2n

. . .

. . .

. . .

a_n1 a_n2 ... a_nn ].

A kvadratikus mátrix sorainak számát a mátrix rendjének nevezzük.

Tétel: Bármely lineáris transzformációhoz egy adott bázisban egyértelműen hozzárendelhető egy számtáblázat (mátrix) és megfordítva, tetszőleges mátrix egy adott bázisra vonatkozóan egyértelműen meghatároz egy lineáris transzformációt. Így a lineáris transzformációk és a négyzetes transzformációk kölcsönön egyértelmű megfeleltetését adtuk meg.

A lineáris transzformációk leírására, vizsgálatára a mátrixok kényelmes lehetőségeket adnak.

Transzformációk összege: Ha a vektortér bármely x vektorara alkalmazzuk az A és B transzformációt, akkor azt a C transzformációt, amelyet az x vektorra alkalmazni kell, hogy az Ax és Bx összegét kapjuk, az A és B transzformációk összegének nevezzük. Azaz C=A+B azt jelenti, hogy Cx=Ax+Bx.

Mátrixok összege: Ha A és B mátrix azonos rendű, akkor A+B összegükön azt a mátrixot értjük, melynek elemei rendre az A és B megfelelő elemeinek az összege.

Tétel: Ha A és B a V vektortér két transzformációja, akkor ezek összegének adott bázisra vonatkozó mátrixa egyenlő az A és B transzformációk ugyanazon bázisra vonatkozó mátrixának összegével.

Transzformáció szám-szorosa: Az A lineáris transzformációnak a k számmal való szorzatán értjük azt a k*A lineáris transzformációt, amely a tér bármely x vektorához a k*Ax vektort rendeli hozzá.

Mátrix szám-szorosa: Az A mátrix K-szorosán azt a mátrixot értjük, melynek elemei az A mátrix elemeinek K-szorosa.

Tétel: Ha egy transzformáció mátrixa A, akkor a transzformáció K-szorosának mátrixa egyenlő a transzformáció mátrixának K-szorosával, azaz: k*A.

Transzformációk szorzata: Ha a vektortér bármely x vektorara alkalmazzuk a B transzformációt: y=Bx, majd a transzformációval kapott y vektorra az A transzformációt: z=Ay, akkor azt a C transzformációt amelyet az x-re alkalmazni kell, hogy az egymás után végrehajtott transzformációkkal nyert z vektort kapjuk, az A és B transzformációk szorzatának nevezzük. A transzformációk szorzata nem kommutatív.

Mátrixok szorzata: Legyen A (m x k), B pedig (k x n) -és mátrixok. A két mátrix szorzatát sor-oszlop kompozícióval értelmezzük a következőképpen:

A*B=[ a₁₁*b₁₁+a₁₂*b₂₁+...+a_1k*b_k1 ... a₁₁*b_1n+a₁₂*b_2n+...+a_1k*b_kn

a₂₁*b₁₁+a₂₂*b₂₂+...+a_2k*b_k1 ... a₂₁*b_1n+a₂₂*b_2n+...+a_2k*b_kn

. .

. .

. .

a_m1*b₁₁+a_m2*b₂₂+...+a_mk*b_k1 ... a_m1*b_1n+a_m2*b_2n+...+a_mk*b_kn ].

A szorzatmátrix (m x n)-és típusú lesz.

Két mátrix csak akkor szorozható össze, ha az elsőnek ugyanannyi oszlopa van, mint ahány sora a szorzatban a másodiknak. Két különböző típusú mátrix csak egyféle sorrendben szorozható össze. Két azonos típusú mátrix mindkét sorrendben összeszorozható. Az eredmény általában függ a tényezők sorrendjétől.

Tétel: Ha A és B a V vektortér két lineáris transzformációja, akkor ezek szorzatának adott bázisra vonatkozó mátrixa egyenlő az A és B transzformáció ugyanezen bázisra vonatkozó mátrixának - ugyanolyan sorrendben vett - szorzatával.

Transzformáció inverze: Ha a V vektortér A lineáris transzformációja olyan, hogy az Ax₁=Ax₂ egyenlőség csak x₁=x₂ eseten teljesül, akkor létezik a V tér egy B transzformációja a következő tulajdonsággal: Bx a V tér egyetlen vektora, amelyhez az A lineáris transzformáció az x vektort rendeli, azaz amelyre ABx=x. Ezt a B transzformációt az A inverzének nevezzük és A^-1-gyel jelöljük. A fenti tulajdonságú A lineáris transzformációt nemszingulárisnak mondjuk, ha nem ilyen, akkor szinguláris. Lineáris transzformáció inverze is lineáris (nemszinguláris) transzformáció.

Tétel: A V vektortér A lineáris transzformációja akkor és csak akkor nemszinguláris, ha a V bármely f₁,f₂,...,f_n bázisa eseten Af₁,Af₂,...,Af_n vektorok ismét bázist alkotnak.

Tétel: Az A lineáris transzformációnak akkor és csak akkor létezik inverze, ha mátrixa valamely bázisban nem szinguláris.

Annak érdekében, hogy a lineáris transzformációkkal részletesebben foglalkozhassunk, jobban meg kell ismerkedni a mátrixokkal.

Mátrix algebra

Mátrix: Tekintsük az aij valós számoknak egy m sorból és n oszlopból álló sémáját:

[ a₁₁ a₁₂ ... a_1n

a₂₁ a₂₂ ... a_2n

..................

a_m1 a_m2 ... a_mn ].

Ezt a sémát m x n típusú mátrixnak nevezzük, és a következőképpen jelöljük:

A = [a_ij] (i=1,2,...,m; j=1 ,2,...,n). Az a_ij számok a mátrix elemei. Ha m=n akkor a mátrixot n-ed rendű kvadratikus mátrixnak nevezzük. Jelölése: A = [a_ij] (i=1,2,..,n).

Transzponált: A sorok és oszlopok felcserélésével nyert mátrixot az eredeti mátrix transzponáltjának nevezzük, és vesszővel jelöljük: A' = [a_ji].

Egyenlőség: Két mátrix egyenlő, ha azonos típusúak és megfelelő helyen álló elemeik egyenlők: A = B ha a_ij=b_ij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n).

Szimmetrikus mátrix: Egy mátrix szimmetrikus, ha egyenlő transzponáltjával: A = A', ferdén szimmetrikus, ha egyenlő transzponáltja negatívjával: A = -A'.

Diagonál mátrix: Ha egy kvadratikus mátrix főátlóján (aii) elemein kívül valamennyi elemei zérus, akkor azt a mátrixot diagonál mátrixnak nevezzük.

Egységmátrix: Azt a diagonál mátrixot, melynek minden eleme 1, egységmátrixnak nevezzük:

E = [ 1 0 ... 0

0 1 ... 0

............

0 0 ... 1 ].

Zérusmátrix: Azt a mátrixot, amelynek minden eleme 0 zérus mátrixnak nevezzük.

Sor- és oszlopvektor: Az egy sorból álló mátrixokat sorvektoroknak, az egy oszlopból álló mátrixokat oszlopvektoroknak nevezzük:

x = [ a₁ a₂ ... a_n ],

és

x'= [ a₁

a₂

.

.

.

a_n].

Determináns: Az A kvadratikus mátrixból alkotott determinánst A determinánsának nevezzük. Jelölése: det(A) vagy /A/. A determináns értékét a következő képlet definiálja:

/A/ = szumma(n!) (-1)^I* a_1i1*a_2i2*...*a_nin, ahol I az 1,2,...,n számok i₁,i₂,...,i_n permutációban szereplő inverziók száma, az összegzést pedig ki kell terjeszteni az 1,2,...,n számok valamennyi permutációjára.

Előjeles aldetermináns: Ha az A kvadratikus mátrix i-edik sorát és j-edik oszlopát elhagyjuk és így nyert (n-1)-ed rendű minormátrix determinánsát (-1)^i+j előjellel látjuk el, akkor az Aij előjeles aldeterminánst kapjuk.

Spur: Egy A kvadratikus mátrix spurjának nevezzük a főátlóbeli elemeinek összegét: spur(A)=szumma(i=1-tol n-ig)aii. A mátrix spurját szokás 'nyom'-nak is nevezni.

Műveletek mátrixokkal:

A + B = (a_ij + b_ij),

k * A = (k*a_ij),

A * B = (szumma(p=1-tol k-ig)a_ip*b_pj), A=(a_mk),B=(b_kn).

Adjungált: Az n-ed rendű A=[a_ij] kvadratikus mátrix adjungáltján azt a mátrixot értjük, amelyet az A mátrixból úgy nyerünk, hogy az aij elem helyére az A' transzponált ugyanazon helyen álló a'_ij=a_ji elemének előjeles aldeterminánsnak értékét írjuk. Az adjungált mátrixot adj(A)-val jelöljük.

Szingularitás: Az A kvadratikus mátrixot nemszinguláris mátrixnak nevezzük, ha az elemeiből alkotott determináns zérustól különböző. Ha a determináns zérussal egyenlő, akkor a mátrixot szingulárisnak nevezzük.

Mátrixok inverze: Ha az A kvadratikus mátrixhoz hozzárendelhető olyan X mátrix, amely kielégíti mind az A * X = E, mind pedig az X * A = E egyenletet, akkor az A mátrixot invertálhatónak, az X mátrixot pedig A inverzének nevezzük.

Tétel: Az A mátrix X inverzét a következőképpen határozhatjuk meg:

X = adj(A)/det(A).

Tétel: Az A kvadratikus mátrix akkor és csak akkor invertálható, ha nem szinguláris.

A lineáris transzformációk mátrixa

Tétel: Az A lineáris transzformációnak akkor és csak akkor létezik inverze, ha mátrixa valamilyen bázisban nem szinguláris.

Tétel: Ha az A lineáris transzformáció mátrixa az e₁,e₂,...,e_n bázisban A, akkor az x vektor y = A(x) képének az e₁,e₂,...,e_n bázisra vonatkozó koordinátáit az x vektor ugyanezen bázisra vonatkozó koordinátáiból úgy kapjuk meg, hogy a transzformáció A mátrixával szorozzuk az x vektor koordinátáiból alkotott oszlopvektort.

Identikus leképezés: Azonossági transzformáció, mátrixa az egységmátrix: Ex = x.

Tükrözés: Azokat a transzformációkat, amelyek négyzete az azonossági transzformáció, tükrözéseknek nevezzük: T * T = E.

Vetítés: Azokat a transzformációkat, amelyeknek bármely pozitív egész kitevőjű hatványa önmaga, projekciónak (vetítésnek) nevezzük: P = P^2 = P^3 = ... .

Forgatás: Azokat a transzformációkat, amelyekhez létezik olyan f szám, hogy a transzformáció f-edik hatványa az identikus leképezés, forgatásnak nevezzük: F^f = E. A forgatás mátrixa aszimmetrikus.

Ortogonális transzformáció: Azokat a transzformációkat, amely során a vektor hossza nem változik, ortogonális transzformációknak nevezzük. Ortogonális transzformáció mátrixát ortogonális mátrixnak nevezzük. Ortogonális mátrix inverze egyenlő a mátrix transzponáltjával. Az ortogonális transzformációt mozgásnak nevezzük, ha mátrixának determinánsa 1, nem valódi mozgásnak ha a mátrixának determinánsa -1. Az ortogonális transzformáció a vektorok skaláris szorzatát változatlanul hagyja: (Ax,Ay) = (x,y).

Szimmetrikus transzformáció: Egy transzformációt szimmetrikusnak nevezünk, ha mátrixa szimmetrikus: A = A'. Ha A = -A', akkor ferdénszimmetrikusnak nevezzük.

Tétel: Bármely lineáris transzformáció felbontható egy szimmetrikus és egy ferdénszimmetrikus transzformáció összegére.

Tétel: Bármely nem szinguláris transzformáció felbontható egy szimmetrikus és egy ortogonális transzformáció szorzatara.

Nyújtás: A k*E mátrix-szal meghatározott transzformációt nyújtásnak nevezzük.

Mátrixok a 2-dimenzós euklideszi térben

1) Identitás:

E = [ 1 0

0 1 ].

2) x -tengelyre való tükrözés:

T = [-1 0

0 1 ].

3) y -tengelyre való tükrözés:

T = [ 1 0

0 -1 ].

4) O-ra való tükrözés:

T = [-1 0

0 -1 ].

5) x -tengelyre való merőleges vetítés:

P = [ 1 0

0 0 ].

6) y -tengelyre való merőleges vetítés:

P = [ 0 0

0 1 ].

7) x -tengelyre merőleges affinitás:

A = [ 1 0

0 a ].

8) y -tengelyre merőleges affinitás:

A = [ a 0

0 1 ].

9) Középpontos hasonlóság:

H = [ a 0

0 a ].

10) 90 fokos elforgatás:

R = [ 0 1

-1 0 ],

R = [ 0 -1

1 0 ].

11) φ szögű elforgatás:

F = [ cos(φ) -sin(φ)

sin(φ) cos(φ) ],

F = [ cos(φ) sin(φ)

-sin(φ) cos(φ) ].

Mátrixok a 3-dimenzós euklideszi térben

1) Identitás:

E = [ 1 0 0

0 1 0

0 0 1 ].

2) x -tengelyre való tükrözés:

T = [-1 0 0

0 1 0

0 0 1 ].

3) y -tengelyre való tükrözés:

T = [ 1 0 0

0 -1 0

0 0 1 ].

4) z -tengelyre való tükrözés:

T = [ 1 0 0

0 1 0

0 0 -1 ].

5) O-ra való tükrözés:

T = [-1 0 0

0 -1 0

0 0 -1 ].

6) x-y síkra való merőleges vetítés:

P = [ 1 0 0

0 1 0

0 0 0 ].

7) x-y síkra való merőleges affinitás:

A = [ 1 0 0

0 1 0

0 0 a ].

8) Középpontos hasonlóság:

H = [ a 0 0

0 a 0

0 0 a ].

9) x -tengely körüli al szögű elforgatás:

R = [ 1 0 0

0 cos(α) -sin(α)

0 sin(α) cos(α) ].

10) y -tengely körüli be szögű elforgatás:

R = [ cos(β) 0 sin(β)

0 1 0

-sin(β) 0 cos(β) ].

11) z -tengely körüli ga szögű elforgatás:

R = [ cos(γ) -sin(γ) 0

sin(γ) cos(γ) 0

0 0 1 ].

12) Az α,β,γ által meghatározott forgatás:

R=[

cos(β)cos(γ) -cos(β)sin(γ) sin(β)

cos(α)sin(γ)+sin(α)sin(β)cos(γ) cos(a)cos(γ)-sin(α)sin(β)sin(γ) -sin(α)cos(β)

sin(α)sin(γ)-cos(α)sin(β)cos(γ) sin(a)cos(γ)+cos(α)sin(β)sin(γ) cos(α)cos(β) ]

Sajátérték, sajátvektor

Karakterisztikus egyenlet és polinom: Az A lineáris transzformációval meghatározott, adott bázisban felirt Ax = k*Ex egyenletet a transzformáció karakterisztikus egyenletének, a det(Ax - k*Ex)=0 egyenletet a transzformáció karakterisztikus polinomjának nevezzük.

Sajátérték, sajátvektor: Azokat a k számokat, amelyek kielégítik az Ax = k*x egyenletet az A transzformáció sajátértékeinek, azokat a vektorokat, amelyek ezekhez a sajátértékekhez tartoznak, sajátvektoroknak nevezzük.

Tétel: Az A lineáris transzformáció sajátvektorai, a vektortér A szembeni invariáns altereit alkotják. Euklideszi térben a különböző sajátértékekhez tartozó sajátvektorok egymásra ortogonálisok. A lineáris transzformáció az egységgömbön a sajátirányokba veszi fel extremális értékeit.

Tétel: Az A lineáris transzformációnak a sajátvektorok által meghatározott bázisra vonatkozó mátrixa diagonális.