SZAKDOLGOZAT

Görbe Mihály

Kossuth Lajos Tudományegyetem

Matematika Intézete

A GLOBÁLIS DIFFERENCIÁLGEOMETRIA NÉHÁNY

ALAPFOGALMA

Készítette: Témavezető:

Görbe Mihály Szilasi József

v.évf. mat-fiz. szakos h.

Debrecen

1977

Köszönetet mondok Szilasi József tanársegéd úrnak szakdolgozatom elkészítése során nyújtott segítségéért.

III

Előszó

Ebben a dolgozatban – alapfogalmainak tárgyalása révén – bevezetést kívánunk nyújtani a globális differenciálgeometriába.

Célunk a differenciálható sokaság definíciójának megadásán túlmenően, hogy foglalkozzunk a sokaság érintőterével, érintőnyalábjával, továbbá az, hogy a Riemann sokaság és Finsler sokaság definiálásával alapot nyújtsunk a metrikus differenciálgeometriai terek tárgyalásához.

Az első fejezetben, mely bevezető jellegű, az Rⁿ halmaz euklideszi, affin és differenciálható struktúrájával foglalkozunk, mintegy szemléleti előkészítésként a következő fejezetek számára.

A második részben a bevezetésben megismert differenciálható struktúra messzemenő, a differenciálgeometria számára kielégítő általánosítását tárgyaljuk. Így jutunk a differenciálható sokaság fogalmához. Definiáljuk továbbá a függvények és leképezések differenciálhatóságát.

Az utolsó két fejezetben további globális alapfogalmakat definiálunk, úgymint: érintővektor, érintőtér, vektormező, derivációk, érintőnyaláb, principális nyaláb, Riemann sokaság, Finsler sokaság.

A dolgozatban szereplő fogalmak megértéséhez nélkülözhetetlen a topológia, lineáris algebra, algebra, analízis, elemi geometria alapvető fogalmainak ismerete, melyet a továbbiakban fel is tételezünk.

Tartalom

I. Bezetés 1.

1. Az n-dimenziós euklideszi tér 2.

2. Az affin tér 8.

3. A lineáris tér 9.

4. Az euklideszi, affin és lineáris tér kapcsolata 10.

5. A Vⁿ differenciálható struktúrája 13.

II. Differenciálható sokaságok 17.

1. A differenciálható sokaság 18.

2. A differenciálható függvény és a lokális koordinátarendszer 23.

3. Differenciálható leképezések, differenciálható görbék 27.

III. Érintővektorok 30.

1. Az érintővektor 31.

2. Az érintőtér 32.

3. Vektormezők, derivációk 35.

4. Az érintő nyaláb 41.

5. A principális nyaláb 43.

IV. Riemann sokaság 45.

1. A Riemann sokaság 46.

2. Finsler sokaság 49.

Felhasznált irodalom 50.

1. oldal

I. Bevezetés

Ebben az előkészítő fejezetben különféle, egymással szoros kapcsolatban lévő struktúrákkal látjuk el az

halmazt, melyet a rendezett valós számennesek halmazának nevezünk.

Így jutunk az euklideszi térhez, amely valamennyi további meggondolásunk kiindulópontjául szolgál. Ezen kívül Rⁿ -et topológikus térré tesszük, és ezen differenciálható struktúrát adunk meg. Ez utóbbi konstrukció a következő fejezetben messzemenő általánosítást nyer. Röviden, csak az eredmények közlésével foglalkozunk a Vⁿ érintőterével, valamint az Rⁿ -en adott különböző struktúrák kapcsolatával.

2. oldal

1. Az n-dimenziós euklideszi tér

Ebben a részben az n-dimenziós euklideszi térrel foglalkozunk, melynek fontosságát misem bizonyítja jobban, mint az, hogy a továbbiakban vizsgálataink során végig szerepet játszik. Foglalkozunk továbbá az ezen a téren adott függvények differenciálhatóságával, s megemlítjük az inverz függvény tételt.

1. Tétel: Legyen Rⁿ a rendezett valós számennesek halmaza. Ha

akkor a

függvény az Rⁿ metrikája.

1. Definíció: Az (Rⁿ, d) = Eⁿ metrikus teret n-dimenziós euklideszi térnek nevezzük. Az Rⁿ halmaz p = (p¹, p²,…, pⁿ) elemét az Eⁿ tér pontjának, a p¹, p²,…, pⁿ számokat a p pont koordinátáinak nevezzük.

Az Eⁿ teret tegyük topológikus térré a d metrika által indukált topológiával.

2. Definíció: Az Eⁿ tér olyan önmagára való homeomorfizmusát, mely a tér két pontjának a távolságát invariánsan hagyja, azaz

igaz minden -re, az Eⁿ tér egy mozgásának nevezzük. Az Eⁿ tér mozgásainak halmaza csoportot alkot, melyet E(n) -nel fogunk jelölni

Ezen definíciók alapján az euklideszi geometria teljes egészében felépíthető, eredményei tárgyalhatók.

3. oldal

3. Definíció: Legyen és . Legyen

Ezekkel a vektortér műveletekkel az Rⁿ egy n-dimenziós vektortér az R felett. Ilyen esetben Eⁿ elemeit vektoroknak is tekinthetjük.

4. Definíció: Legyen a p = (p¹, p²,…, pⁿ) az Eⁿ egy pontja. Legyen xⁱ(p) = pⁱ (i = 1, 2,…, n). Az x¹, x²,…, xⁿ az Eⁿ-nek folytonos függvényei, melyet koordinátafüggvényeknek nevezünk. Az (x¹, x²,…, xⁿ) függvényennest pedig az Eⁿ standard koordinátarendszerének hívjuk.

Most az Eⁿ -en definiált függvények differenciálhatóságával foglalkozunk.

5. Definíció: Legyen az f = f(x¹(p), x²(p),…, xⁿ(p)) függvény az Eⁿ egy U nyílt halmazán definiálva és legyen . Legyen q a 0 = (0, 0,…, 0) pont környezetében. Ha az f(p+q) - f(p) különbség

alakban írható, ahol A_i egy q -tól független konstans, C(q) pedig a q egy olyan függvénye, hogy esetén a , akkor azt mondjuk, hogy az f függvény a p -ben totálisan differenciálható.

4. oldal

2. Tétel: Ha az f függvény totálisan differenciálható a p pontban, akkor minden xⁱ változója szerint is differenciálható és

6. Definíció: Ha az f függvény az minden pontjában totálisan differenciálható, akkor az f az U-n totálisan differenciálható.

7. Definíció: Legyen f egy, az Eⁿ egy U nyílt halmazán definiált függvény. Ha az f az U minden pontjában minden xⁱ változója szerint differenciálható és ezen

parciális deriváltak az U folytonos függvényei, akkor f -et folytonosan deriválható függvénynek, vagy C¹ osztályú függvénynek nevezzük.

8. Definíció: Legyen f egy, az Eⁿ egy nyílt halmazán definiált függvény. Ha az r olyan pozitív egész szám, hogy az f -nek az U minden pontjában az r -ed rendű

( )

parciális deriváltak mind léteznek és az U -n folytonosak, akkor f -et r -szeresen folytonosan differenciálható függvénynek, vagy C^r osztályú függvénynek nevezzük.

5. oldal

9. Definíció: Ha az Eⁿ egy U nyílt részhalmazán értelmezett f függvény minden pozitív r egész esetén C^r osztályú, akkor C^∞ osztályú függvénynek nevezzük.

A folytonos függvényeket az előzőek szerint joggal C⁰ osztályú függvényeknek nevezhetjük.

10. Definíció: Ha az f az C^∞ osztályú függvénye és minden -ra a

hatványsor abszolút konvergens és egyenletesen konvergál az f(x¹, x²,…, xⁿ)-hez a p egy elég kis környezetében, ahol

akkor f -et analitikus függvénynek, vagy osztályú függvénynek nevezzük.

11. Definíció: Legyen φ az Eⁿ U nyílt halmazának egy Eⁿ -be való leképezése. Legyen

Ekkor minden φⁱ egy U -n definiált függvény. Ha minden φⁱ C^r osztályú, akkor azt mondjuk, hogy φ egy C^r osztályú leképezés.

12. Definíció: Ha a φ az Eⁿ U nyílt halmazának egy C¹ osztályú leképezése Eⁿ-re, akkor minden pontra és vektorra létezik a

6. oldal

határérték és egyenlő

-val.

Ezt a határértéket (dφ)_p(v)-vel jelöljük és a φ leképezés p -beli v irányra vett deriváltjának nevezzük.

A (dφ)_p: v → (dφ)_p(v) megfeleltetés az Eⁿ vektortérnek egy lineáris leképezése az E^m vektortérre. Így

Ha az Eⁿ és E^m vektorait oszlopvektoroknak írjuk, akkor

ahol

(i = 1, 2, …, m)

Jelöljük a

m x n -es mátrixot (Jφ)_p-vel. Ezt a φ leképezés p -beli Jacobi mátrixának nevezzük. Ha m=n, akkor a (Jφ)_p négyzetes mátrix, és determinánsa:

7. oldal

Melyet a φ leképezés p -beli Jacobi determinánsának nevezünk.

13. Definíció: Legyen φ az Eⁿ egy U nyílt halmazának az Eⁿ egy V nyílt részhalmazára való egy-egyértelmű leképezése. Ha a φ és φ^-1 is C^r osztályú leképezés, akkor φ -t C^r osztályú diffeomorf leképezésnek nevezzük.

Egy C⁰ osztályú diffeomorf leképezés nyilván csak homeomorf leképezés.

3. Tétel: (Inverz függvény tétel) Legyen φ az Eⁿ egy U nyílt halmazának az Eⁿ-be való C^r (1≤r≤∞) osztályú leképezése. Ha a φ leképezésnek a Jacobi determinánsa az U egy p₀ pontjában nem zérus, akkor a φ az Eⁿ p₀ pontja egy környezetének az Eⁿ egy φ(p₀) pontja környezetére való C^r diffeomorfizmusa, azaz létezik a p₀-nak és a φ(p₀) -nak egy olyan U₀ illetve V₀ környezete, hogy ha a φ -t megszorítjuk az U₀-ra, akkor a φ az U₀-nak V₀-ra való C^r diffeomorfizmusa.

8. oldal

2. Az affin tér

1. Definíció: Vegyük az (Rⁿ, d) = Eⁿ n-dimenziós euklideszi teret. Tekintsünk el a tér metrikájától, de tartsuk meg a d által indukált topológiát, az egyenes és a párhuzamosság fogalmát. Ekkor az Aⁿ-nel jelölt n-dimenziós affin térhez jutunk.

Az Aⁿ n-dimenziós affin térben beszélhetünk folytonosságról, egyenesekről és azok párhuzamosságáról, de nem beszélhetünk két pont távolságáról.

2. Definíció: Az Aⁿ egy olyan önmagára való homeomorfizmusát, mely egyeneseknek egyeneseket feleltetnek meg, az Aⁿ tér affinitásának nevezzük. Az Aⁿ affinitásainak halmaza csoportot alkot, melyet A(n) -nel fogunk jelölni.

9. oldal

3. A lineáris tér

1. Definíció: Vegyük az Eⁿ teret és rajta a d metrikája által indukált topológiát, majd tekintsünk el a d metrikától. Az Rⁿ vektortér erre a topológiára nézve topológikus vektortér. Ezt a topológikus vektorteret n-dimenziós lineáris térnek nevezzük és Vⁿ -el jelöljük.

2. Definíció: A Vⁿ topológikus vektortérnek olyan önmagára való

£: Vⁿ → Vⁿ

homeomorfizmusát, mely a Vⁿ vektortér műveleteit változatlanul hagyja, azaz

a Vⁿ egy nemszinguláris lineáris transzformációjának nevezzük. A Vⁿ nemszinguláris transzformációinak halmaza csoportot alkot, melyet általános lineáris csoportnak nevezünk és GL(n) -el jelölünk.

10. oldal

4. Az euklideszi, affin és lineáris tér kapcsolata

1. Definíció: Legyen . Azt fogjuk mondani a Vⁿ-nek az Eⁿ-re való homeomorfizmusáról, mely kielégíti a feltételt, hogy a Vⁿ -et a ponthoz kapcsolja.

A definícióban szereplő homeomorfizmus révén a Vⁿ additív csoportja az Eⁿ-en úgy hat, mint egy homeomorfizmus csoport, azaz a

az Eⁿ olyan homeomorfizmusai, amelyek kielégítik a relációt. Ha ez a homeomorfizmus csoport E(n) -beli elemekből áll, akkor ezeket a homeomorfizmusokat az Eⁿ transzlációinak nevezzük. Egy ilyen kapcsolatot létesítő homeomorfizmusról azt mondjuk, hogy a Vⁿ -et affin módon kapcsolja az Eⁿ p pontjához. Azt is mondhatjuk, hogy ebben az esetben a Vⁿ identifikálva (azonosítva) van Eⁿ -nel. Ha a és affin módon kapcsolja a Vⁿ -et az Eⁿ -hez, akkor a a Vⁿ -nek egy nemszinguláris lineáris transzformációja.

2. Definíció: Ha

esetén létezik olyan nemszinguláris lineáris transzformáció, hogy

11. oldal

akkor azt mondjuk, hogy és ekvivalensek.

Tekintsük a homeomorfizmusoknak az előző ekvivalencia relációra nézve az ekvivalencia osztályait. Legyenek és egy osztályban. Akkor és csak akkor identifikálja a a Vⁿ -et Eⁿ -nel, ha is azt teszi, s ekkor a és a az Eⁿ ugyanazon transzláció csoportját határozza meg. Így az identifikáció lényegileg egyértelmű, hiszen csak egyetlen ekvivalencia osztálybeli homeomorfizmusok révén jöhet létre.

Tétel: Kapcsolja a homeomorfizmusok egy {} családja a Vⁿ -et affin módon az Eⁿ pontjaihoz, azaz minden -hez létezik egy olyan {} -beli homeomorfizmus, hogy az a Vⁿ -et affin módon kapcsolja az Eⁿ -beli p ponthoz. Ha a egy mozgás, akkor a

minden -re egy nemszinguláris lineáris transzformáció.

Ebben a részben tárgyalt tételek és definiciók mindegyike megfogalmazható úgy is, hogy az Eⁿ -et Aⁿ -el, E(n) -et A(n) -el (mozgást affinitással) cseréljük ki. Az így nyert állítások a Vⁿ és Aⁿ kapcsolatát tükrözik.

A fejezet célja az volt, hogy rámutasson a Vⁿ -nek az euklideszi illetve affin struktúrákkal való kapcsolatára. Elmondhatjuk tehát, hogy a Vⁿ hozzácsatolható Eⁿ (ill. Aⁿ) -hez oly módon, hogy az Eⁿ egy mozgása (ill. az Aⁿ egy affinítása) a Vⁿ -nek egy nemszinguláris lineáris transzformációját indukálják. Ezáltal az Aⁿ mozgásainak (ill. az Aⁿ affinitásainak) tulajdonságai a Vⁿ lineáris transzformációiban tükröződnek.

Azokat a tulajdonságokat, amelyek a mozgáscsoporttal szemben invariánsak metrikus vagy mozgás-invariánsoknak, azokat pedig, amelyek az affinitások csoportjával szemben invariánsak affin invariánsoknak nevezzük.

Röviden a továbbiakban azt is mondhatjuk, hogy az identifikálás révén a Vⁿ -et euklideszi illetve affin struktúrával láttuk el.

13. oldal

5. A Vⁿ differenciálható struktúrája

Legyen a Vⁿ identifikálva az Eⁿ -nel a homeomorfizmus segítségével. Ha , akkor a -ben szereplő számokat az a koordinátáinak nevezzük. Definiáljuk a segítségével a Vⁿ -en értelmezett függvények és leképezések differenciálhatóságát a következőképpen:

1. Definíció: Legyen U a Vⁿ -nek egy nyílt halmaza. Azt mondjuk, hogy az

f : U → R

függvény differenciálható az U -n, ha az

függvény a minden pontjában rendelkezik a q¹, q², …, qⁿ koordináták szerinti parciális deriváltakkal tetszőleges rendben.

Ez a definíció független a homeomorfizmus megválasztásától.

2. Definíció: Legyen U és Vⁿ -nek egy nyílt halmaza és tekintsük a leképezést. Azt mondjuk, hogy a leképezés az U -n differenciálható, minden olyan g függvény esetén, amely differenciálható V^m -nek valamely W nyílt halmazán, a függvény differenciálható -n.

14. oldal

Ha a egy olyan bijektív, differenciálható leképezés, melynek inverze is differenciálható, akkor -t diffeomorfizmusnak nevezzük. A diffeomorfizmusok a differenciálható függvények halmazát invariánsan hagyják. A Vⁿ diffeomorfizmusai csoportot alkotnak.

Ha részletesen megvizsgálnánk azt a problémát, hogy miként lehet a Vⁿ -et az Eⁿ pontjaihoz – az előző részben tárgyaltak mintájára – hozzákapcsolni olymódon, hogy az Eⁿ egy diffeomorfizmusa a Vⁿ egy nemszinguláris lineáris transzformációját indukálják, azt kapnánk, hogy ez nem lehetséges. Általában egy vektortérben a differeciálható leképezéseknek csak egy pont környezetében való, tehát lokális viselkedése tükröződhet.

Annak a vektortérnek a definiálására térünk most rá, amelyben a diffeomorfizmus egy nem szinguláris lineáris transzformációt indukál, ez lesz a Vⁿ érintőtere.

3. Definíció: Legyen I = (-1, 1). A differenciálható leképezést a Vⁿ egy differenciálható görbéjének nevezzük. Ha , akkor azt mondjuk, hogy a átmegy a v -n.

Legyen . Legyen G a v -n átmenő differenciálható görbék halmaza, F a v környezetében definiált differenciálható függvények halmaza. Ha , , akkor a t -nek differenciálható függvénye, ha t elegendően kicsi. Legyen . Két G -beli és görbét ekvivalensnek mondjuk, ha

15. oldal

igaz minden -re. Hasonlóan: két F -beli f₁ és f₂ függvényt ekvivalensnek mondunk, ha

igaz minden -re.

4. Definíció: A G -nek az előző ekvivalencia relációra vonatkozó ekvivalencia osztályait a Vⁿ v -beli érintővektorainak, s ezek összességét a Vⁿ v -beli érintőterének nevezzük és T_v(Vⁿ) -vel jelöljük.

5. Definíció: Az F -nek az előző ekvivalencia relációra vonatkozó ekvivalencia osztályait v -beli differenciáloknak vagy duális érintővektoroknak, ezek összességét v -beli duális érintőtérnek nevezzük és -vel jelöljük. (A differenciálokat df -vel is fogjuk jelölni.)

A T_v(Vⁿ) és vektorterek egymás duálisai és dimenziójuk n.

Az -t a görbe érintővektorának nevezzük, ha az

relációt teljesíti.

Legyen az U -nak a Vⁿ -be való leképezése, akkor egy -re illeszkedő görbe. (ábra)

16. oldal

Legyen

érintővektora) ≡ a érintővektora.

Ekkor a

egy lineáris leképezés lesz a v -beli és -beli érintőterek között. Ehhez hasonlóan és duális érintőterek között is differenciálható egy

leképezés, mely szintén lineáris.

A és lesznek azok a lineáris leképezések, melyekben megfigyelhetők a leképezés tulajdonságai. Általában, ha a egy diffeomorfizmus, akkor a és nemszinguláris lineáris transzformációk.

Mivel a Vⁿ mozgásai és affinitásai egyben diffeomorfizmusok is, megállapítható, hogy a Vⁿ differenciálható struktúrája bővebb mint az affin, és az bővebb mint az euklideszi struktúrája.

17. oldal

II. Differenciálható sokaságok

Ebben a fejezetben az előző fejezet általánosításaként, egy topológikus téren, méghozzá Hausdorff-féle topológikus téren fogunk differenciálható struktúrát definiálni, így jutunk a differenciálható sokaság fogalmához. Láthatjuk majd, hogy ez a fogalomalkotás mennyire segíti a topológikus terünkön definiált függvények differenciálhatóságának definícióját. Ez a segítség bizonyos egyértelműségben és függetlenségben jelentkezik majd. Ebben a fejezetben tárgyaljuk a leképezések differenciálhatóságát is.

18. oldal

1. A differenciálható sokaság

1. Definíció: Legyen M egy Hausdorff-féle topológikus tér. Ha az M minden pontjának létezik olyan környezete, mely homeomorf az Eⁿ egy nyílt halmazával, akkor az M -et n-dimenziós topológikus sokaságnak nevezzük.

2. Definíció: Legyen az M egy n-dimenziós topológikus sokaság. Legyen az U az M -nek egy olyan nyílt halmaza, hogy a

leképezés egy homeomorfizmus, ahol az E az Eⁿ egy nyílt halmaza. Ekkor a párt az M egy koordináta környezetének nevezzük.

3. Definíció: Legyen az M egy n-dimenziós topológikus sokaság és legyen egy koordináta környezete. Ha a p az U -nak egy pontja, akkor az Eⁿ egy pontját jelenti, azaz a egy valós számennes. Jelöljük a i -edik koordinátáját xⁱ(p) -vel. Ekkor

a.) Mivel a folytonos leképezés, minden xⁱ az U -n egy valósértékű folytonos függvény.

19. oldal

b.) Mivel a egy-egyértelmű leképezés, esetén abból, hogy xⁱ(p)=xⁱ(q) (i = 1, 2, …, n), az következik, hogy p=q. Így az U minden p pontja egyértelműen meghatároz egy (x¹(p), x²(p), …, xⁿ(p)) valós számennest.

Ha a p az U egy pontja, akkor az (x¹(p), x²(p), …, xⁿ(p)) valós számennest a p pont koordináta környezetére vonatkozó lokális koordinátáinak nevezzük.

Az U xⁱ, (i = 1, 2, …, n) valós folytonos függvényeit koordinátafüggvényeknek, az ezekből álló (x¹, x², …, xⁿ) függvényennest az lokális koordinátarendszerének nevezzük.

(Összegezve: az U halmaz egy p pontjának az koordinátakörnyezetre vonatkozó lokális koordinátái egyenlők a Eⁿ -beli koordinátáival.)

Megjegyezzük, hogy a lokális jelző arra utal, hogy koordináták az M -nek csak egy nyílt részhalmazán vannak bevezetve. Csak akkor adható meg egy olyan lokális koordinátarendszer, mely a teljes M -en definiálva van, ha az M homeomorf az Eⁿ egy nyílt halmazával, azaz magával az Eⁿ -nel. Nyilvánvaló, hogy ilyen koordinátarendszer egy általános Hausdorff-féle topológikus tér esetén nem létezik, innen ered a lokális elnevezés.

20. oldal

4. Definíció: Legyen M egy n-dimenziós topológikus sokaság. Legyen A és indexek halmaza. Legyen az M egy olyan nyílt lefedése, hogy a

minden esetén egy homeomorfizmus, ahol az az Eⁿ egy nyílt halmaza. Az koordináta környezetek együttesét egy koordináta környezet rendszernek, vagy atlasznak nevezzük és -val jelöljük.

Legyen M egy n-dimenziós topológikus sokaság és ennek egy atlasza. Legyen olyan, hogy benne van az és koordinátakörnyezetekben is. Ekkor a p két koordinátarendszernek is eleme. Vizsgáljuk meg a két koordinátarendszer közötti kapcsolatot. (ábra)

(1)

21. oldal

a -nak nyilván egy homeomorfizmusa -re.

Ha (u)=(u¹, u², …, uⁿ), akkor

Így az (u¹, u², …, uⁿ) változók folytonos függvénye.

Legyen . Így

Mivel , .

Ezt (1) -be helyettesítve:

Így .

Röviden írva

Ez az összefüggés az és koordinátarendszerek közötti transzformációs formula. Az inverz reláció hasonlóan adódik:

5. Definíció: Az M n-dimenziós topológikus sokaság egy koordinátakörnyezet rendszerét C^r osztályú koordinátakörnyezet rendszernek, vagy C^r koordináta környezetnek nevezzük, ha S a követkető tulajdonságokkal rendelkezik:

Minden -ra, melyre nem üres halmaz, az -változós

22. oldal

függvények, amelyek az és koordináta környezetek közötti transzformációval vannak meghatározva, a illetve a halmazokon, r -szeresen folytonosan differenciálhatók. Ha és mindegyike analitikus függvény, akkor S -et osztályú koordinátakörnyezet rendszernek vagy koordinátakörnyezet rendszernek nevezzük. Ha az S egy C^r osztályú koordinátakörnyezet rendszer, az M -en, akkor azt mondjuk, hogy az S egy C^r osztályú differenciálható struktúrát definiál az M topológikus sokaságon.

6. Definíció: Ha az M egy topológikus sokaság az S C^r osztályú koordinátakörnyezet rendszerrel, akkor M -et n-dimenziós C^r osztályú differenciálható sokaságnak, vagy C^r sokaságnak nevezzük. Nevezetesen, ha , akkor az M -et analitikus sokaságnak nevezzük.

7. Definíció: Legyen az M egy C^r sokaság, D az M -nek egy nyílt halmaza és egy C^r osztályú atlasz. Legyen , és legyen a -nak az -ra való megszorítása. Ekkor a D -n egy C^r atlasz, és D egy C^r sokaság. A D -t az M nyílt részsokaságának nevezzük.

23. oldal

2. A differenciálható függvény és a lokális koordinátarendszer

1. Definíció: Legyen M egy n-dimenziós C^r sokaság. Legyen nyílt halmaz, és f ezen egy folytonos függvény. Legyen az M egy C^r atlasza. Legyen és V a p -nek egy olyan környezete, hogy igaz valamely -ra. Ha az Eⁿ egy nyílt részhalmazán definiált függvény C^s osztályú a egy környezetében, akkor azt mondjuk, hogy az f a -ban C^s osztályú.

2. Definíció: Ha az f függvény az minden pontjában C^s osztályú, akkor C^s osztályúnak nevezzük az U -n.

Tegyük fel, hogy az f C^r osztályú az M -beli p pont egy környezetében. Ha , akkor

alakú a egy környezetében. Itt az az változóknak C^s osztályú függvényei. Ha és , akkor

Vagy röviden .

24. oldal

Azt kaptuk tehát, hogy

Tegyük fel, hogy a p az -ban is benne van és legyen

a p pont egy környezetében és legyen minden . Azt kapjuk, hogy

Ennélfogva

így

Ezáltal

és hasonlóan

igaz minden -beli pontra.

Nevezetesen, ha és , akkor

is igaz minden -beli pontra. Legyen

25. oldal

Ekkor (egységmátrix).

Így az és egymás inverzei és így az egyetlen pontjában sem.

3. Definíció: Legyenek az f¹, f²,…, fⁿ függvények a p egy U környezetében definiált C^s osztályú függvények. esetén legyen

Ezt az f¹, f²,…, fⁿ függvényeknek az lokális koordinátarendszerre vonatkozó függvénydeterminánsának nevezzük.

Ha , akkor az előzőek alapján:

Így a

függvénydeterminánsnak azon tulajdonsága, hogy 0 -e vagy nem, független a p -t tartalmazó megválasztásától.

4. Definíció: Legyen az M egy n-dimenziós C^r sokaság. Legyen f¹, f²,…, fⁿ n darab C^s osztályú függvény a egy környezetében, s erre teljesüljön, hogy

26. oldal

Ekkor az (f¹, f²,…, fⁿ) függvényennest egy p körüli lokális koordinátarendszernek nevezzük.

5. Definíció: Legyen M egy n-dimenziós C^r sokaság és legyen

az M egy C^r osztályú atlasza. Legyen az M -nek egy olyan koordináta környezete, hogy az S -ből az hozzá vételével nyert atlasz C^s osztályú , akkor azt mondjuk, hogy az a C^r osztályú M sokaság C^s osztályú koordináta környezete.

Tekintsük a

Az U n darab függvényét a C^r osztályú M sokaság egy U halmazán értelmezett C^s osztályú lokális koordinátarendszerének nevezzük.

27. oldal

3. Differenciálható leképezések, differenciálható görbék

Legyen M és M’ n és m dimenziós differenciálható sokaságok. A továbbiakban, ha mást nem mondunk, mindig osztályú sokaságokkal foglalkozunk. Legyen az M -nek M’ -re való folytonos leképezése. Legyen és legyen f a -nek az M’ -beli V koordinátakörnyezetén definiált osztályú függvénye. Mivel folytonos, így van a p -nek olyan U környezete, hogy . Definiáljuk a függvényt a p U környezetén a következőképpen:

Mivel f és folytonosak, a is folytonos. Ha tetszőleges, a környezetén definiált osztályú f függvényre a osztályú a p egy környezetén, akkor azt mondjuk, hogy a osztályú a p pontban vagy, hogy differenciálható.

1. Definíció: Ha az M -nek M’ -re való differenciálható leképezése egy-egyértelmű és a inverze is differenciálható, akkor a -t az M -nek M’ -re való diffeomorf leképezésének, vagy diffeomorfizmusának nevezzük.

2. Definíció: Legyen (a, b) az R egy nyílt intervalluma. Az R egy 1-dimenziós differenciálható sokaság és (a, b) az R egy nyílt részsokasága. Az (a, b) -nek egy M -be

28. oldal

való differenciálható leképezését az M -nek az (a, b) -n értelmezett differenciálható görbéjének nevezzük.

3. Definíció: Ha az [a, b] zárt intervallumnak egy M sokaságba való leképezése, és ha létezik egy olyan (a’, b’) nyílt intervallum, mely tartalmazza [a, b] -t , valamint egy olyan differenciálható leképezés, hogy , ha , akkor -t az M -nek az [a, b] -n definiált differenciálható görbéjének nevezzük.

4. Definíció: Ha egy olyan folytonos leképezés, hogy az [a, b] véges számú a₀, a₁,…, a_m pontjaira a=a₀<a₁<a₂<…<a_m=b és a -nek az [a₀, a₁], [a₁, a₂],…, [a_m-1, a_m] -re való szűkítései differenciálható görbék, akkor -t szakaszonként differenciálható görbének nevezzük.

5. Definíció: Legyen a az M differenciálható sokaságnak az (a, b) -n definiált differenciálható görbéje. Legyen és (x¹, x²,…, xⁿ) az M -nek egy lokális koordinátarendszere a egy környezetében és legyen

(i = 1, 2,…, n).

Minden a t₀ egy környezetének osztályú függvénye. Az

29. oldal

n-dimenziós vektort a görbe pontjában az (x¹, x²,…, xⁿ) lokális koordinátarendszerre vonatkoztatott érintővektorának nevezzük.

30. oldal

III. Érintővektorterek

Ebben a fejezetben megkonstruáljuk a bevezetésben tárgyalt érintőtér általánosításaként a sokaság érintőterét. Az érintőtér alapvető szerepet játszik a Riemann metrika értelmezésében.

Majd tekintjük a sokaság érintő nyalábját, mint a pontbeli érintőtelek unióját. Ezt természetes módon differenciálható struktúrával látjuk el. Ez a konstrukció a modern differenciálható sokaságok elméletében igen jelentős. Említést teszünk a hasonló jelentőségű principális nyalábról is.

31. oldal

1. Az érintővektor

Legyen M egy sokaság és p az M -nek egy pontja. Tekintsük mindazon osztályú függvények halmazát, melyek a p egy környezetében vannak definiálva. Jelöljük ezt a halmazt F(p) -vel. Nyilván, hogy ha f és , akkor . Ha minden -nek megfelel egy olyan v(f) valós szám, amely kielégítik a következő feltételeket:

ahol , akkor a leképezést az M p -beli érintővektorának nevezzük.

Megjegyezzük, hogy a v(f) értéke az f -nek csak a lokális viselkedésétől függ.

32. oldal

2. Az érintőtér

Az M -nek legyen v és v’ a p -beli érintővektora és . Definiáljuk ezek összeadását illetve -val való szorzását a következőképpen:

Ekkor a v+v’ és az M -nek p -beli érintővektorai. Erre az összeadásra és skalárral való szorzásra nézve a p -beli érintővektorok halmaza az R felett egy vektorteret alkot. Ezt a vektorteret T_p(M) -vel jelöljük és az M p -beli érintőterének nevezzük.

Legyen az (x¹, x²,…, xⁿ) az U egy lokális koordinátarendszere és egy -ban legyen:

, (i = 1, 2,…, n)

Ekkor a egy p -beli érintővektor.

Tétel: Ha az M egy n-dimenziós differenciálható sokaság, akkor a T_p(M) érintőtere szintén n-dimenziós és ennek egy bázisa.

Legyen és legyen . A számennest a v -nek az (x¹, x²,…, xⁿ) lokális koordinátarendszerre vonatkozó komponenseinek nevezzük. Ekkor

Legyen (x¹, x²,…, xⁿ) és a p pont két lokális koordinátarendszere. Ekkor és a a T_p(M) -nek egy egy bázisa és a köztük lévő transzformációs

33. oldal

törvény:

Ha és az -re vonatkozó komponensei, akkor ezek transzformációs törvénye:

Legyen most a az M -nek egy (a, b) -n definiált differenciálható görbéje és . Legyen (x¹, x²,…, xⁿ) az M egy lokális koordinátarendszere és legyen a görbe -beli érintővektora az (x¹, x²,…, xⁿ) lokális koordinátarendszerben. Legyen

Ekkor a v az M -nek egy érintővektora a pontban és ez független az (x¹, x²,…, xⁿ) lokális koordinátarendszer megválasztásától. – Valóban, ha egy másik -hoz tartozó lokális koordinátarendszer és ha , akkor

A v -t a differenciálható görbe -beli érintővektorának nevezzük.

34. oldal

Ha a differenciálható görbe érintővektora egyetlen pontban sem zérus, és ha ha , akkor a -t reguláris differenciálható görbének nevezzük.

35. oldal

3. Vektormezők, derivációk

Az M minden pontjában tekintsünk egy X_p -vel jelölt érintővektort. Az megfeleltetést az M -en egy vektormezőnek nevezzük.

Ha az (x¹, x²,…, xⁿ) az M egy U nyílt halmazának lokális koordinátarendszere, akkor az U minden p pontjában az X_p egyértelműen felírható

alakban. Ebben az esetben a (i = 1, 2,…, n) az U -n n darabfüggvény, melyet az X vektormezőnek az (x¹, x²,…, xⁿ) lokális koordinátarendszerre vonatkoztatott komponenseinek nevezzük. Ha az az U egy másik lokális koordinátarendszere és az X -nek az -ra vonatkoztatott komponensei, akkor

ahol .

Így az X komponens függvényeinek az a tulajdonsága, hogy egy pontban folytonos vagy C^r osztályú, független a koordinátarendszer megválasztásától. Így ha az X -nek az összes komponens függvénye folytonos vagy C^r osztályú, akkor az X -et folytonos vagy C^r osztályú vektromezőnek nevezzük az U -n.

Ha az M minden pontjának létezik olyan környezete, melyen az X folytonos vagy C^r osztályú, akkor azt mondjuk, hogy az X az M folytonos vagy C^r osztályú vektormezője.

36. oldal

Jelöljük az M összes osztályú vektormezőinek halmazát -mel, és -en definiált összes osztályú függvények halmazát. Legyen és . A

megfeleltetések az M -nek vektormezői. Ezekre a következő szabályok érvényesek:

Most ha (x¹, x²,…, xⁿ) az U -nak egy lokális koordinátarendszere, akkor legyen:

Egy vektormezőnek az (x¹, x²,…, xⁿ) -re vonatkozó komponensei az U -nak osztályú függvényei, ha az X is osztályú, és X az U -n így írható fel:

Legyen és . Definiáljunk M -en egy Xf -el jelölt függvényt az

előírással. Így

és Xf osztályú. Az Xf -et az f -nek az X vektormezőre vonatkozó deriváltjának nevezzük. Az X által definiált derivációra a következő szabályok érvényesek:

37. oldal

Most az algebrák definiálására térünk át.

1. Definíció: Legyen V az R felett egy vektortér. Ha a V minden a, b elem-párjához van a V -nek egy -vel jelölt eleme és teljesülnek a

relációk, akkor a V -t R feletti algebrának nevezzük.

2. Definíció: Ha az R feletti V algebrában az

reláció is teljesül, akkor V -t asszociatív algebrának nevezzük.

3. Definíció: Legyen V egy R feletti algebra. Ha D a V -nek olyan önmagára való leképezése, melyre teljesülnek a következő feltételek:

akkor a D -t a V algebra egy derivációjának nevezzük.

4. Definíció: Legyen V egy asszociatív algebra az R felett és legyen W egy vektortér szintén az R felett.

38. oldal

Ha megadható egy olyan

művelet, melyre teljesülnek a következő:

relációk, akkor a W -t V -modulusnak nevezzük.

5. Definíció: Legyen D₁, D₂ egy algebra két derivációja. Definiáljuk a V -nek egy [D₁, D₂] -vel jelölt önmagára való lineáris leképezését a következőképpen:

[D₁, D₂]a = D₁(D₂a) – D₂(D₁a).

A [D₁, D₂] -t a V D₁, D₂ derivációi kommutátorszorzatának nevezzük.

1. Tétel: Egy V algebra két derivációjának kommutátorszorzata a V -nek ismét derivációja.

2. Tétel: A derivációk kommutátorszorzata rendelkezik a következő tulajdonságokkal:

[D₁, D₂] = -[D₂, D₁]

[D₁, [D₂, D₃]] + [D₂, [D₃, D₁]] + [D₃, [D₁, D₂]] = 0

Ez utóbbit a kommutátorszorzás Jacobi azonosságának is szokták nevezni.

6. Definíció: Legyen V az R felett egy algebra. Ha a V a, b elem-párjaira értelmezett -vel jelölt művelete eleget tesz az

39. oldal

[a, b] = -[b, a]

[a, [b, c]] + [b, [c, a]] + [c, [a, b]] = 0

feltételeknek is, akkor a V -t R feletti Lie algebrának, az algebra műveletét pedig kommutátor szorzásnak nevezzük.

Ha a függvények összeadását és szorzását a szokásos módon definiáljuk, akkor egy asszociatív algebra. Ha és , akkor . Erre a szorzásra nézve a -modulus. Legyen továbbá

Ekkor a D_X a asszociatív algebrának egy derivációja. Kimondunk egy olyan tételt, mely azt fejezi ki, hogy a minden derivációja D_X alakú.

3. Tétel: Ha az M két X és Y vektormezőjére D_X = D_Y igaz, akkor X ekvivalens Y -nal.

4. Tétel: Ha a D a asszociatív algebra egy derivációja, akkor létezik az M -nek egy egyértelműen meghatározott X vektormezője úgy, hogy D = D_X.

Tekintsük a két D_X és D_Y derivációját és ezek kommutátorszorzata legyer [D_X, D_Y]. Ez a -nek ismét egy derivációja, így létezik olyan , hogy [D_X, D_Y] = D_Z. Ezt Z vektormezőt az X és Y vektormezők kommutátorszorzatának nevezzük és Z = [X, Y] -nal jelöljük, azaz

[D_X, D_Y] = D[X, Y].

40. oldal

Így minden esetén

[X, Y]f = X(Yf) - Y(Xf)

A vektormezők kommutátor szorzata rendelkezik a következő tulajdonságokkal:

[X+Y, Z] = [X, Z] + [Y, Z]

[X, Y+Z] = [X, Y] + [X, Z]

[X, Y] = -[Y, Z]

[fX, gY] = fg[X, Y] + f(Xg)Y - g(Yf)X

[X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y]] = 0

Legyen az X és Y -nak az (x¹, x²,…, xⁿ) -re vonatkozó komponensei és . Ekkor

Mivel

azt mondjuk, hogy

az U -n.

5. Tétel: A halmaz a vektormezők kommutátorszorzására nézve Lie algebrát alkot, és ez a Lie algebra azonosítható a asszociatív algebra derivációinak Lie algebrájával.

41. oldal

4. Az érintő nyaláb

Legyen M egy differenciálható sokaság.

Legyen

Tegyük -et differenciálható sokasággá a következőképpen:

Ha , akkor legyen az az M -nek olyan lokális környezete, hogy és legyen (x¹, x²,…, xⁿ) az -nak lokális koordinátarendszere.

Legyen

egy leképezés. Ekkor

-ben legyenek a nyílt halmazok definíció szerűen a -k, miközben az U befutja az M koordináta környezeteit. Az ezen nyílt halmazok által megadott topológiára nézve a – ismeretes módon – folytonos.

Ha , akkor

és

leképezés egy-egyértelmű a és az E²ⁿ egy nyílt részhalmaza között. A -nek az előzőekben definiált topológiájára nézve a leképezések homeomorfizmusok, miközben az U befutja az M összes koordinátakörnyezetét.

42. oldal

Ezáltal a párok lokális koordinátakörnyezeteknek tekinthetők. Vizsgáljuk meg ezen koordinátakörnyezetek közötti kapcsolatot:

Legyen és az M két olyan lokális koordinátakörnyezete, hogy . Legyen az koordináta transzformáció. Ekkor a differenciálható leképezés. Ha akkor

ahol

Így

(j = 1, 2,…, n)

azaz a b¹, b², …, bⁿ koordináták az x¹, x², …, xⁿ, a¹, a², …, aⁿ differenciálható függvényei. Így az (x¹, x², …, xⁿ, a¹, a², …, aⁿ) -nak az (y¹, y², …, yⁿ, a¹, a², …, aⁿ) -re való transzformációja differenciálható.

Ezáltal a -en differenciálható struktúrát adtunk meg. A tehát 2n dimenziós differenciálható sokaság. Ezt a sokaságot az M sokaság érintőnyalábjának nevezzük.

43. oldal

5. A principális nyaláb

Legyen M egy differenciálható sokaság.

Legyen:

Tegyük B(M) -et differenciálható sokasággá a következőképpen:

Ha , akkor legyen az az M -nek olyan lokális koordinátakörnyezete, hogy és legyen az (x) az -nak lokális koordinátarendszere.

Legyen

egy leképezés. Ekkor

leképezés egy-egyértelmű a és az egy nyílt halmaza között, ahol

és

Belátható, hogy a B(M) -nek létezik egyértelműen egy olyan topológiája, hogy a leképezések homeomorfizmusok, miközben az U befutja az M összes koordinátakörnyezetét.

Ezáltal a párok lokális koordinátakörnyezeteknek tekinthetők. Vizsgáljuk meg ezen koordinátakörnyezetek

44. oldal

közötti kapcsolatot.

Legyen és az M két olyan lokális koordinátakörnyezete, hogy . Legyen (xⁱ) és (yⁱ) ezek lokális koordinátarendszerei. Legyen az koordináta transzformáció. Ekkor differenciálható leképezés. Ha , akkor

ahol

Ebből azt kapjuk, hogy

azaz a b^ij koordináták az x¹, x², …, xⁿ, a¹¹, …, aⁿⁿ differenciálható függvényei.

Így az (x¹, x², …, xⁿ, a¹¹, …, aⁿⁿ) -nek az (y¹, y², …, yⁿ, b¹¹, …, bⁿⁿ) -re való transzformációja differenciálható.

Így a B(M) -en differenciálható struktúrát adtunk meg. A B(M) tehát egy n+n² dimenziós differenciálható sokaság. Ezt a B(M) sokaságot az M principális nyalábjának nevezzük.

45. oldal

IV. Riemann sokaság

Ismeretes, hogy a Riemann tér fogalma képezi a tulajdonképpeni modern differenciál geometria kiindulópontját. Itt a korábbiakra támaszkodva egy olyan absztrakt értelmezését adjuk, amely a Riemann geometria globális megközelítését teszi lehetővé.

Hasonló szellemben adjuk meg a Finsler sokaságok definícióját is, amely fogalomalkotás a modern differenciál geometriai vizsgálatok egy másik kulcsfontosságú területének alapja.

46. oldal

1. A Riemann sokaság

Tegyük fel, hogy az M sokaság minden pontjában definiálva van egy pozitív belső szorzás. Egy U -beli (x¹, x²,…, xⁿ) koordinátarendszer esetén legyen

ahol . Minden g_ij (i, j = 1, 2, …, n) az U egy függvénye és a minden q -ra egy pozitív definit szimmetrikus mátrix. Ha az az U -nak egy másik koordinátarendszere, legyen

Ekkor

Így, ha a g_ij függvények az U -n C^r osztályúak, akkor függvények is és viszont, ezáltal ez a tulajdonság független a lokális koordinátarendszer megválasztásától.

Ha az M minden pontjának egy környezetében az összes g_ij függvény C^r osztályú, akkor a T_p(M) -beli g_p pozitív belső szorzásával meghatározott leképezést, ahol p az M egy tetszőleges pontja, egy C^r osztályú Riemann metrikának nevezzük. A g_p -t a g p -beli, a g_ij -t a g (x¹, x²,…, xⁿ) -beli komponenseinek nevezzük. A továbbiakban csak osztályú Riemann metrikákkal foglalkozunk, melyet egyszerűen Riemann metrikának nevezünk.

47. oldal

Ha adott az M -en egy Riemann metrika, akkor a p -beli v érintővektor hosszát a

összefüggéssel definiáljuk.

Ha a v komponensei a (x¹, x²,…, xⁿ) -ben , akkor

A Riemann metrikát gyakran a

formulával adják meg.

Egy olyan M sokaságot, melyen egy g Riemann metrika adott, Riemann sokaságnak nevezzük és (M, g) -vel jelöljük.

Legyen az (M, g) Riemann sokaság egy (a, b) nyílt intervallumon definiált differenciálható görbéje és v_t ennek a -beli érintővektora. Ekkor a a t -nek folytonos függvénye. Ha a<c<d<b, akkor

értéket a és közötti hosszának nevezzük.

Egy [a, b] zárt intervallumon definiált differenciálható görbe esetén legyen az (a’, b’) nyílt halmazon (melyre: ) definiált differenciálható görbe úgy, hogy ha . Legyen és nevezzük ezt a görbe hosszának. Ha a egy szakaszonként differenciálható görbe, akkor ennek hossza egyenlő a

48.oldal

véges számú zárt intervallumon adott differenciálható görbe hosszainak összegével.

Legyen (M, g) egy Riemann sokaság és . Legyen C_p_,q a p és q -t összekötő összes szakaszonként differenciálható görbék halmaza. Ha akkor legyen a -nek a p és q közötti hossza. Ha