A Pi közelítése a geometriai valószínűség segítségével

Ha egy A korlátos, mérhető területű geometriai alakzat P pontját véletlenszerűen választjuk ki, akkor annak a valószínűsége, hogy az A-nak a B mérhető területű részhalmazára esik: (B mértéke) / (A mértéke). Ezt a valószínűséget (mivel a valószínűség meghatározásához geometriai mértéket kell meghatározni), geometriai valószínűségnek nevezzük.

A geometriai valószínűség fogalma lehetőséget kínál területek mérőszámának közelítésére. Ha egy négyzetbe egy, az oldalait érintő kört rajzolunk, majd az alakzat pontjait véletlenül választjuk ki elég sokszor, akkor a körre eső pontok száma úgy aránylik a négyzetre eső (összes pont) számához, mint a kör területe a négyzet területéhez. Képletben: R²*Pi / 4*R². Ha e törtet egyszerűsítjük, akkor a valószínűségre Pi / 4 adódik.

Nincs más feladatunk, mint folyamatosan véletlenül választani a négyzet területéről egy pontot, ezt számolni (N) és megnézni, hogy a kör területére esett-e, ha igen akkor azt külön számoljuk (K). Mindig kiírathatjuk a programmal a 4*N/K értéket, mely a Pi értékét közelíti. (Hogy a rajz mindig változzon, a kör területére eső pontoknál nem beállítódik a piros szín, hanem újonnan történő kiválasztáskor a háttérszínnel váltakozik. Így soha nem lesz a kör területe homogén piros. Ugyanígy van a körre nem eső pontoknál is, csak kék színnel.)

Mivel a program leállítási feltételt nem tartalmaz, gondoskodni kell a folyamatos végrehajtás mellett a leállíthatóságról is. Ezt elegánsan egy programozási szál indításával oldhatjuk meg. Az indítást a Start feliratú nyomógomb végzi, melyet megnyomva Enabled tulajdonságát False-ra változtatjuk, mert újabb megnyomása a programot leállíthatatlanná tenné. A képernyőn folyamatosan látjuk a Pi tényleges értékét, a közelítő értéket, valamint a pontválasztások számát.

A futási kép, miközben a gép átlépte a 20 millió pontválasztást:

A program listája:

unit UPi;

interface

uses
  Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes,

Graphics, Controls, Forms, Dialogs, StdCtrls;

type
TSzamol=Class(TThread)
Private
      X, Y: Integer;
Protected
Procedure Execute; OverRide;
Procedure Szamol;
End;

TfmPi = class(TForm)
lbPi: TLabel;
btKilepes: TButton;
btStart: TButton;
procedure btKilepesClick(Sender: TObject);
procedure FormCreate(Sender: TObject);
procedure FormPaint(Sender: TObject);
procedure btStartClick(Sender: TObject);
private
{ Private declarations }
Sz: TSzamol;
public
{ Public declarations }
end;

Const R= 300;

var
fmPi: TfmPi;
Xk, Yk: Integer;
  N, K: LongInt;
  Bent: Boolean;

implementation

{$R *.dfm}

procedure TfmPi.btKilepesClick(Sender: TObject);
begin
Close;
end;

procedure TfmPi.FormCreate(Sender: TObject);
begin
Randomize;
Xk:= ClientWidth Div 2;
Yk:= ClientHeight Div 2;
  N:= 0; K:= 0;
end;

procedure TfmPi.FormPaint(Sender: TObject);
begin
With Canvas Do
Begin
Pen.Color:= clBlue;
Rectangle(Xk-R,Yk-R,Xk+R,Yk+R);
Pen.Color:= clRed;
    Arc(Xk-R,Yk-R,Xk+R,Yk+R,Xk+R,Yk+R,Xk+R,Yk+R);
Font.Size:= 12;
TextOut(10,100,'Pi: 3,14159265358979');
End;
end;

Procedure TSzamol.Execute;
Begin
Repeat
    X:= Random(2*R+1)-R;
    Y:= Random(2*R+1)-R;
    Inc(N); Bent:= False;
If Sqr(X)+Sqr(Y)<=Sqr(R) Then
Begin Bent:= True; Inc(K) End;
Synchronize(Szamol);
Until Terminated;
End;

Procedure TSzamol.Szamol;
Begin
With fmPi.Canvas Do
Begin
If Bent Then
If Pixels[Xk+X,Yk+Y]= clRed Then
Pixels[Xk+X,Yk+Y]:= clBtnFace Else
Pixels[Xk+X,Yk+Y]:= clRed;
If Not Bent Then
If Pixels[Xk+X,Yk+Y]= clBlue Then
Pixels[Xk+X,Yk+Y]:= clBtnFace Else
Pixels[Xk+X,Yk+Y]:= clBlue;
Font.Size:= 12;
TextOut(10,120,'Pi~ '+FloatToStr(4*K/N));
TextOut(10,150,'N:  '+IntToStr(N));
End;
End;

procedure TfmPi.btStartClick(Sender: TObject);
begin
btStart.Enabled:= False;
Sz:= TSzamol.Create(False);
end;

end.